Italiano: La permutazione del gruppo simmetrico S₄

${\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix}}\ =(1)(3)(2\ 4)=\pi ^{-1}}$

scambia 2 e 4. Essendo un 2-ciclo, viene scritta nella notazione abbreviata ${\displaystyle \pi =(2,4)}$. La matrice ${\displaystyle P_{\pi }}$ corrispondente alla permutazione ${\displaystyle \pi }$, è

${\displaystyle P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\mathbf {e} _{\pi (3)}\\\mathbf {e} _{\pi (4)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{4}\\\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {e} _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}=P_{\pi ^{-1}}}$

viene pure detta matrice di trasposizione.

La stessa può essere rappresentata come trasformazione attiva nella forma di un quadrato, come in alto nella pagina. Tale quadrato ha:

• gli 1 della matrice P_π rappresentati dalle caselle in rosso.
• i valori iniziali 1,2,3,4 da permutare sono i puntini neri nella diagonale principale
• le frecce curve indicano lo scambio tra 2 e 4 nella notazione postfissa o azione destra.

Da notare che ${\displaystyle P_{\pi }=P_{\pi ^{-1}}}$ cioè le due matrici coincidono e la notazione prefissa ha stessa rappresentazione come la postfissa e si differenzia solo per il verso delle frecce.