Idempotente (teoría dos aneis)

Na teoría de aneis, unha rama das matemáticas, un elemento idempotente ou simplemente idempotente dun anel é un elemento a tal que a² = a. É dicir, o elemento é idempotente baixo a multiplicación do anel. Daquela, de xeito indutivo, tamén se pode concluír que a = a² = a³ = a⁴ = ... = aⁿ a = a² = a³ = a⁴ = ... = aⁿ para calquera número enteiro positivo n. Por exemplo, un elemento idempotente dun anel de matrices é precisamente unha matriz idempotente.

Exemplos

Cocientes de Z

Pódese considerar o anel de enteiros módulo n, onde n é libre de cadrados. Segundo o teorema chinés do resto, este anel factoriza no produto de aneis de enteiros módulo p, onde p é primo. Agora cada un destes factores é un corpo, polo que está claro que os únicos factores idempotentes serán 0 e 1. É dicir, cada factor ten dous idempotentes. Entón, se hai m factores, haberá 2^m idempotentes.

Podemos comprobar isto para os enteiros mod 6 mod 6, R = Z / 6Z. Como 6 ten dous factores primos (2 e 3) debería ter 2² idempotentes.

0² ≡ 0 ≡ 0 (mod 6)

1² ≡ 1 ≡ 1 (mod 6)

2² ≡ 4 ≡ 4 (mod 6)

3² ≡ 9 ≡ 3 (mod 6)

4² ≡ 16 ≡ 4 (mod 6)

5² ≡ 25 ≡ 1 (mod 6)

A partir destes cálculos, 0, 1, 3 e 4 son idempotentes deste anel, mentres que 2 e 5 non o son. Isto tamén demostra as propiedades de descomposición descritas a continuación: a causa de que 3 + 4 ≡ 1 (mod 6), hai unha descomposición do anel 3Z / 6Z ⊕ 4Z / 6Z. En 3Z / 6Z a identidade multiplicativa é 3 + 6Z e en 4Z / 6Z a identidade multiplicativa é 4 + 6Z .

Cociente de anel polinómico

Dado un anel R e un elemento f ∈ R tal que f ² ≠ 0, o anel cociente

R / (f ² − f)

ten o idempotente f. Por exemplo, isto podería aplicarse a x ∈ Z[x], ou a calquera polinomio f ∈ k[x₁, ..., x_n] .

Idempotentes no anel dos cuaternións divididos

Hai unha circunferencia de idempotentes no anel dos cuaternións divididos. Os cuaternións divididos teñen a estrutura dunha álxebra real, polo que os elementos poden escribirse w + x i + y j + z k sobre unha base {1, i, j, k}, con j ² = k ² = +1. Para calquera θ ,

$s=j\cos \theta +k\sin \theta$ cumpre s ² = +1 xa que j e k satisfán a propiedade anticomutativa. Agora

$({\frac {1+s}{2}})^{2}={\frac {1+2s+s^{2}}{4}}={\frac {1+s}{2}},$ a propiedade idempotente.

O elemento s chámase unidade hiperbólica e a coordenada i tomouse como cero. Cando esta coordenada é distinta de cero, entón hai un hiperboloide dunha folla de unidades hiperbólicas en cuaternións divididos.

Tipos de aneis idempotentes

Unha lista parcial de tipos importantes de idempotentes inclúe:

• Dous idempotentes a e b chámanse ortogonais se ab = ba = 0. Se a é idempotente no anel R (con unidade), entón tamén o é b = 1 − a ; a maiores, a e b son ortogonais.
• Un idempotente a en R chámase idempotente central se ax = xa para todo x en R, é dicir, se a está no centro de R.
• Un idempotente trivial refírese a calquera dos elementos 0 e 1, que sempre son idempotentes.
• Un idempotente primitivo dun anel R é un idempotente distinto de cero a tal que aR é indescompoñíbel como un módulo R pola dereita; é dicir, tal que aR non é unha suma directa de dous submódulos distintos de cero. De forma equivalente, a é un idempotente primitivo se non se pode escribir como a = e + f, onde e e f son idempotentes ortogonais distintos de cero en R.
• Un idempotente local é un idempotente a tal que aRa é un anel local. Isto implica que aR é directamente indescompoñíbel, polo que os idempotentes locais tamén son primitivos.
• Un idempotente irredutíbel pola dereita é un idempotente a para o cal aR é un módulo simple. Segundo o lema de Schur, End_R(aR) = aRa é un anel de división e, polo tanto, é un anel local, polo que os idempotentes irredutíbeis pola dereita e pola esquerda son locais.
• Un idempotente centralmente primitivo é un idempotente central a que non se pode escribir como a suma de dous idempotentes centrais ortogonais distintos de cero.
• Un idempotente a + I no anel cociente R / I dise que se eleva módulo I se hai un idempotente b en R tal que b + I = a + I .
• Un idempotente a de R chámase idempotente completo se RaR = R.
• Para separabilidade idempotente ver Álxebra separábel.

Calquera idempotente a non trivial é un divisor de cero (porque ab = 0 sen que nin a nin b sexan cero, onde b = 1 − a). Isto mostra que dominios de integridade e os aneis de división non teñeneses idempotentes. Os aneis locais tampouco non teñen eses idempotentes, mais por un motivo diferente. O único idempotente contido no radical de Jacobson dun anel é 0.

Véxase tamén

Bibliografía

• Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992). Rings and Categories of Modules. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97845-1. 
• idempotent at FOLDOC
• Goodearl, K. R. (1991). von Neumann regular rings (2 ed.). Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc. pp. xviii+412. ISBN 0-89464-632-X. MR 1150975. 
• Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2004). Algebras, rings and modules. Vol. 1. Mathematics and its Applications 575. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. pp. xii+380. ISBN 1-4020-2690-0. MR 2106764. 
• Lam, T. Y. (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics 131 (2 ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xx+385. ISBN 0-387-95183-0. MR 1838439. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. 
• Lang, Serge (1993). Algebra (Third ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley. p. 443. ISBN 978-0-201-55540-0. Zbl 0848.13001. 
• Peirce, Benjamin (1870). Linear Associative Algebra. 
• Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. (2002). An introduction to group rings. Algebras and Applications 1. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. pp. xii+371. ISBN 1-4020-0238-6. MR 1896125. doi:10.1007/978-94-010-0405-3. 

Outros artigos

• Idempotencia.
• Unipotente
• Nilpotente