Nilpotente

Esta article é sobre un tipo de elemento nun anel. Para Para o caso dun grupo, véxase Grupo nilpotente. Para para o caso dun ideal, véxase Ideal nilpotente. Para para o caso dunha álxebra, véxase Álxebra nilpotente. Para para o caso dunha matriz, véxase Matriz nilpotente.

En matemáticas, un elemento $x$ dun anel $R$ chámase nilpotente se existe algún número enteiro positivo $n$, chamado índice (ou ás veces grao), de xeito que $x^{n}=0$.

O termo, xunto co seu irmán idempotente, foi introducido por Benjamin Peirce no contexto do seu traballo sobre a clasificación das álxebras.

Exemplos

• Esta definición pódese aplicar en particular ás matrices cadradas. A matriz

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

é nilpotente porque $A^{3}=0$. Consulte matriz nilpotent para obter máis información.

• No anel do factor $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$, a clase de equivalencia de 3 é nilpotente porque 3² é congruente con 0 módulo 9.
• Supoña que dous elementos $a$ e $b$ nun anel $R$ satisfán $ab=0$. Daquela o elemento $c=ba$ é nilpotente pois$${\begin{aligned}c^{2}&=(ba)^{2}\\&=b(ab)a\\&=0.\\\end{aligned}}$$ Un exemplo con matrices (para a, b): $$A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$$ Aquí $AB=0$ e $BA=B$.

Propiedades

Ningún elemento nilpotente pode ser unha unidade (agás no anel trivial, que só ten un único elemento 0 = 1). Todos os elementos nilpotentes son divisores de cero.

Unha matriz $n\times n$ $A$ con entradas dun corpo é nilpotente se e só se o seu polinomio característico é $t^{n}$.

Se $x$ é nilpotente, entón $1-x$ é unha unidade, porque $x^{n}=0$ implica $$(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.$$

De forma máis xeral, a suma dun elemento unitario e un elemento nilpotente é unha unidade cando conmutan.

Aneis conmutativos

Os elementos nilpotentes dun anel conmutativo $R$ forman un ideal ${\mathfrak {N}}$; esta é unha consecuencia do teorema binomial. Este ideal é o nilradical do anel. Cada elemento nilpotente $x$ nun anel conmutativo está contido en todo ideal primo ${\mathfrak {p}}$ dese anel, xa que $x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}$. Entón ${\mathfrak {N}}$ está contido na intersección de todos os ideais primos.

Elementos nilpotentes na álxebra de Lie

Sexa ${\mathfrak {g}}$ unha álxebra de Lie. Daquela un elemento $x\in {\mathfrak {g}}$ chámase nilpotente se está en $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ e $\operatorname {ad} x$ é unha transformación nilpotente. Vexa tamén: Descomposición de Jordan nunha álxebra de Lie.

Véxase tamén

Outros artigos

• Idempotente (teoría dos aneis)
• Unipotente
• Nil ideal
• Matriz nilpotente

Ligazóns externas

• what are the applications of nilpotent elements/nilpotent ideals?.