On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Licenza	CC BY-NC 3.0; CC BY-SA 4.0
Na rede
	https://oeis.org/ e http://www.research.att.com/~njas/sequences/
	v; c; e;

A Enciclopedia Online de secuencias de enteiros (OEIS polas súas siglas en inglés, de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) é unha base de datos que rexistra secuencias de números enteiros.

A información que contén OEIS é de interese para matemáticos profesionais, pero tamén serve como entretemento para calquera que desexe practicar a matemática recreativa.

No 2023, pasaba de 360000 secuencias, o que a fai a base de datos máis grande deste tipo.^[1] Entre elas están a famosa lista de números primos (secuencia A000040 na OEIS), a sucesión de Fibonacci (secuencia A000045 na OEIS), e outras sen nome propio, por exemplo: a secuencia de "números que non son cadrados" módulo 48 (secuencia A028761 na OEIS).

Cada entrada contén os primeiros termos da secuencia, palabras chave que a describen, motivación matemática, fórmulas, enlaces a obras relacionadas, e máis. As secuencias pódense buscar por calquera destes campos, por subsecuencia, e doutras formas.

Neil Sloane principiou a colectar secuencias de enteiros nos anos 1960 como apoio ao seu traballo en combinatoria. Nos primeiros momentos editouse en forma de libro mais a partir de 1995 Sloane decidiu publicala Online.

En 2004, Sloane celebrou o rexistro da secuencia número 100 000 (secuencia A100000 na OEIS). En 2006, renovouse a interface de usuario e engadíronse novas opcións de procura. No 2023, pasaba de 360000 secuencias, grazas á colaboración de varias persoas de diversos campos de estudo.

A base de datos foi xestionada por Sloane durante máis de 40 anos, mais desde o 2002, un grupo de editores e voluntarios axudan a mantela.

Como resultado do seu traballo nesta colección, en 1998 Sloane fundou o Journal of Integer Sequences.

Non enteiros

Ademais de secuencias de números enteiros, OEIS tamén rexistra secuencias de fraccións, números complexos, díxitos de números transcendentes, e outros. O que se fai é representalos en forma de secuencia de enteiros.

Por exemplo, as secuencias de racionais represéntanse mediante dúas secuencias (etiquetadas coa palabra chave "frac"): a de numeradores e a de denominadores. Como mostra: a quinta sucesión de Farey, está catalogada como a secuencia de numeradores 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 4 (secuencia A006842 na OEIS), e a secuencia de denominadores 5, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 5 (secuencia A006843 na OEIS), que daría como resultado $1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5$ .

Algúns dos números irracionais importantes, como pi (π = 3,1415926535897…) saen baixo a lista infinita dos seus decimais: 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, … (secuencia A000796 na OEIS).

Un proceso colaborativo

Calquera usuario rexistrado pode introducir series ou calquera dato relacionado con elas, comentarios matemáticos, fórmulas, programación para obter a secuencia, novos termos dela, etc. O proceso é similar ao da Wikipedia mais existe un rigoroso control matemático antes da publicación con un nivel esixido como o da publicación dunha revista de alto nivel. O equipo de revisión está formado por matemáticos con experiencia que valoran a corrección do escrito e a calidade da escritura.

Convencións

No ano 2024, OEIS está limitado a texto ASCII, polo que usa unha convención para a notación matemática. Por exemplo, f(n) para funcións, n para o variable índice, etc. As letras gregas escríbense mediante o nome completo, como mu para μ, phi para φ, etc.

Cada secuencia identifícase pola letra A seguida de 6 díxitos, por exemplo A000315.

Os números da secuencia están separados por comas. As cifras de cada número están xuntas, sen comas, puntos ou espazos.

En comentarios e fórmulas, a(n) representa o termo número n da secuencia a.

Significado especial do cero

Ás veces úsase o cero para representar a inexistencia dalgúns elementos da secuencia. Por exemplo, a (secuencia A104157 na OEIS) enumera o menor primo de entre os n^2 primos consecutivos que se necesitan para facer un cadrado máxico n X n de mínima constante máxica, ou 0 se non existe tal cadrado. Para a(1) (cadrado máxico de 1 X 1), vale 2; a(3) vale 1480028129, pero non hai ningún cadrado máxico de 2 X 2, polo que a(2) é 0.

Este uso especial ten sentido matematicamente nalgunhas funcións de cálculo; por exemplo, a función fi de Euler $N_{\phi }(m)$ (secuencia A014197 na OEIS) conta o número de solucións de φ(x) = m. Hai 4 solucións para 4, mais ningunha para 14, por tanto a(14) na secuencia A014197 vale 0.

Orde lexicográfica

A OEIS almacena a orde lexicográfica das secuencias, polo que cada unha ten un predecesor e un sucesor (chámaselles contexto). Para calcular a orde, normalízase cada secuencia omitindo os ceros e uns iniciais e ignorando os signos.

Por exemplo, temos as secuencias: números primos, primos palindrómicos, sucesión de Fibonacci, a do número máximo de anacos conseguidos con n cortes dun círculo (problema de cortar o pastel), e a dos coeficientes na expansión da serie ${\zeta (n+2)} \over {\zeta (n)}$ .

Na orde lexicográfica da OEIS, fican:

Secuencia #1: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...
Secuencia #2: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, ...
Secuencia #3: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...
Secuencia #4: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, ...
Secuencia #5: 1, -3, -8, -3, -24, 24, -48, -3, -8, 72, -120, 24, -168, 144, ...

mentres que na orde lexicográfica sen normalizar, a orde sería #3, #5, #4, #1, #2.

Autoreferencias

Moi pronto na historia da OEIS houbo xente que suxeriu secuencias baseadas na orde das propias secuencias de OEIS.

Unha das primeiras secuencias auto-referentes que Sloane aceptou na OEIS foi A031135 (despois (secuencia A091967 na OEIS): "a(n) = termo número n da secuencia An"). Continuouse traballando con esta secuencia no momento no que se atoparon máis termos para a (secuencia A000022 na OEIS). Mais con n grandes, este n pode corresponder a unha secuencia que ten termos finitos (palabra chave «fini») e todos coñecidos (palabra chave «full»); nese caso, a(n) de A091967 está indefinido.

Exemplo dunha entrada de OEIS

Aquí móstrase parte da (secuencia A046970 na OEIS)

A046970,   Dirichlet inverse of the Jordan function J_2 (A007434).
Signed:    1,-3,-8,-3,-24,24,-48,-3,-8,72,-120,24,-168,144,192,-3,-288,
           24,-360,72,384,360,-528,24,-24,504,-8,144,-840,-576,-960,-3,
           960,864,1152,24,-1368,1080,1344,72,-1680,-1152,-1848,360,
           192,1584,-2208,24,-48,72,2304,504,-2808,24,2880,144,2880,
           2520,-3480,-576
Offset:    1,2
Comments:  B(n+2) = -B(n)*((n+2)*(n+1)/(4*Pi^2))*z(n+2)/z(n) = -B(n)*((n+2)* 
           (n+1)/(4*Pi^2)) * Sum_{j>=1} a(j)/j^(n+2).
           Apart from signs also Sum_{d|n} core(d)^2*mu(n/d) where core(x) is
              the squarefree part of x. - Benoit Cloitre
              (abcloitre(AT)modulonet.fr), May 31 2002
References M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions,
              Dover Publications, 1965, pp. 805-811.
           Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 
           1986, p. 48.      	
Links:     Reinhard Zumkeller, Table of n, a(n) for n = 1..10000  
            .... 
            Wikipedia, Riemann zeta function.
Formula:   Multiplicative with a(p^e) = 1-p^2. a(n) = Sum_{d|n} mu(d)*d^2.
           a(n) = Sum_{d|n} mu(d)*d^2.
           ....
Example:   a(3) = -8 because the divisors of 3 are {1, 3}, and mu(1)*1^2 + 
               mu(3)*3^2=-8.
           a(4) = -3 because the divisors of 4 are {1, 2, 4}, and mu(1)*1^2 +
              mu(2)*2^2 + mu(4)*4^2 = -3
MATHEMATICA: muDD[d_] := MoebiusMu[d]*d^2;
               Table[Plus @@ muDD[Divisors[n]], {n, 60}] (Lopez)
Prog:       (PARI) A046970(n)=sumdiv(n,d,d^2*moebius(d)) (Benoit Cloitre)
CROSSREFS:  Dirichlet inverse of Jordan totient function J_r(n):
            A023900 (r = 1), A063453(r = 3), A189922 (r = 4).
            Cf. A007434, A027641, A027642, A027748, A046692, A076479, A084920, A322360.
             Sequence in context: A144457 A220138 A146975 * A322360 A058936 A280369
            Adjacent sequences:  A046967 A046968 A046969 * A046971 A046972 A046973
Keywords:   sign,easy,mult
AUTHOR	    Douglas Stoll, dougstoll(AT)email.msn.com
Extension:  Corrected and extended by Vladeta Jovovic (vladeta(AT)Eunet.yu),
              Jul 25 2001
           ...

Información para algunhas entradas

IDE (identificador)

Cada secuencia en OEIS ten un número de serie: un enteiro positivo de seis díxitos precedido pola letra A . Os números son asignados por algún editor, ou por un expendedor de números A que hai na páxina: pódense pedir varios á vez, e isto é útil para poder crear referencias cruzadas entre varias secuencias que queremos incluír. Se non se usa un número A dado polo sistema, pérdese ao cabo dun mes.

Un ID maior adoita indicar que se engadiu despois. Como exemplo, aquí móstranse varias secuencias escollidas arbitrariamente, xunto coa súa data de entrada no OEIS.

Como exemplo podemos ver (secuencia A054504 na OEIS), Numbers n such that Mordell's equation y^2 = x^3 + n has no integral solutions.

URL

O campo URL dá o formato preferido para dar a ligazón da páxina. É unha dirección curta que contén a información básica.

Secuencia

Aquí lístanse os números da secuencia, ou polo menos varias liñas cos primeiros termos. Non se fai distinción entre secuencias finitas pero longas e secuencias infinitas, así que para saber se hai máis números dos que hai apuntados, hai que consultar se ten as palabras chave "full", "fini", ou "more".

Para saber cal é o n tal que a(n) é o primeiro termo, hai que consultar o campo "desprazamento".

Comentarios

Información sobre a secuencia que non se axusta aos outros campos. Adóitanse anotar relacións curiosas entre diferentes secuencias, ou explícanse aplicacións non triviais dalgunha delas.

Maple, Mathematica e outros programas

Maple e Mathematica adoitan ser os programas usados para calcular as secuencias da OEIS, e ambos os dous teñen os seus propios campos (etiquetados "Maple" e "Mathematica"). Calquera outro programa pódese incluír coa etiqueta "Program" e o nome entre paréntese; algúns dos máis usados son PARI, Magma, Matlab, e mesmo Microsoft Excel.

«Véxase tamén»

Márcanse con "Cf." as referencias cruzadas (a outras secuencias) que incluíu o autor da secuencia.

Agás nas secuencias novas, o campo «Véxase tamén» inclúe información sobre a orde lexicográfica da secuencia (o seu contexto) e dá enlaces a secuencias con números A próximos.

Palabras chave

OEIS ten o seu propio conxunto de palabras chave de 4 ou 5 letras, que serven para describir algúns detalles sobre cada secuencia.

Desprazamento

O desprazamento (offset) é o índice do primeiro termo dado; ou sexa, con que n se comezan a dar os termos na secuencia de fórmula a(n). Adoita ser 0 ou 1, e o máis habitual é 0, que ademais é o predeterminado.

En realidade a OEIS mostra dous números no campo "desprazamento". O primeiro é o descrito arriba, mentres que o segundo é un valor interno, que di cal é o índice do primeiro termo (comezando en 1) que ten un valor absoluto maior que 1. Isto aparece para acelerar as procuras. Por exemplo, a (secuencia A000001 na OEIS) comeza por 1, 1, 1, 2, co primeiro termo representando a(1), e por iso no campo "desprazamento" móstrase 1,4.

Autor

Consta como autor (ou autores) a persoa que enviou a secuencia, aínda que esta sexa coñecida por todos desde hai tempo. Inclúese o nome, iniciais (se é aplicable), e apelido, xunto co correo electrónico (mudando o carácter @ por (AT)). En moitas inclúese tamén a data na que se engadiu a OEIS.

Procuras en OEIS

No sistema actual (2024), un só cadro de texto permite especificar todas as opcións de procura. Algunhas das que se poden facer son:

1,4,9,16,25,36,64
5 8 13 233 39088169
"fermat's little theorem"
author:Guy keyword:nice
keyword:nice keyword:more -keyword:base
keyword:new -keyword:base
ide:A64413
A64413

Notas

↑ "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)". 17 de xaneiro de 2022 09:55 EST. Consultado o 2022-01-17.

Véxase tamén

Ligazóns externas

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Páxina oficial. (en inglés)
Artigos de Neil Sloane sobre OEIS:
- My Favorite Integer Sequences (2000) (en inglés)
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (2003) (en inglés)

[1] "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)". 17 de xaneiro de 2022 09:55 EST. Consultado o 2022-01-17.

[1]