Centralizador e normalizador

En matemáticas, especialmente na teoría de grupos, o centralizador (tamén chamado conmutador^[1]^[2]) dun subconxunto S nun grupo G é o conxunto $\operatorname {C} _{G}(S)$ de elementos de G que conmutan con cada elemento de S, ou equivalentemente, tal que a conxugación por $g$ deixa fixo cada elemento de S. O normalizador de S en G é o conxunto de elementos $\mathrm {N} _{G}(S)$ de G que satisfán a condición máis feble de deixar o conxunto $S\subseteq G$ fixo baixo a conxugación. O centralizador e o normalizador de S son subgrupos de G. Moitas técnicas da teoría de grupos baséanse no estudo dos centralizadores e normalizadores de subconxuntos adecuados S .

Na teoría de aneis, o centralizador dun subconxunto dun anel defínese en relación á operación de semigrupo (multiplicación) do anel. O centralizador dun subconxunto dun anel R é un subanel de R. Este artigo tamén trata sobre centralizadores e normalizadores nunha álxebra de Lie.

O idealizador nun semigrupo ou anel é outra construción que vai na mesma liña que o centralizador e normalizador.

Definicións

Grupo e semigrupo

O centralizador dun subconxunto S do grupo (ou semigrupo) G defínese como ^[3]

\mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ para todo }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ para todo }}s\in S\right\},

onde só a primeira definición se aplica aos semigrupos. Se non hai ambigüidade sobre o grupo en cuestión, o G pódese suprimir da notación. Cando S = { a } é un conxunto unitario, escribimos C_G (a) en lugar de C_G ({a}). Outra notación menos común para o centralizador é Z(a), que é paralela á notación para o centro. Con esta última notación, hai que ter coidado de evitar a confusión entre o centro dun grupo G, Z(G), e o centralizador dun elemento g en G, Z(g).

O normalizador de S no grupo (ou semigrupo) G defínese como

\mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},

onde de novo só a primeira definición se aplica aos semigrupos. Se o conxunto $S$ é un subgrupo de $G$ , entón o normalizador $N_{G}(S)$ é o subgrupo máis grande $G'\subseteq G$ onde $S$ é un subgrupo normal de $G'$ . As definicións de centralizador e normalizador son similares mais non idénticas. Se g está no centralizador de S e s está en S, entón debe ser que gs = sg, mais se g está no normalizador, entón gs = tg para algún t en S, con t posibelmente diferente de s. É dicir, os elementos do centralizador de S deben conmutar punto por punto con S, pero os elementos do normalizador de S só precisan conmutar con S como un conxunto. As mesmas convencións de notación mencionadas anteriormente para os centralizadores tamén se aplican aos normalizadores. Non se debe confundir o normalizador co pechamento normal .

Claramente $C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)$ e ambos os dous son subgrupos de $G$ .

Anel, álxebra sobre un corpo, anel de Lie e álxebra de Lie

Se R é un anel ou unha álxebra sobre un corpo, e S é un subconxunto de R, entón o centralizador de S é exactamente o mesmo que se definiu para os grupos, con R no lugar de G.

Se ${\mathfrak {L}}$ é unha álxebra de Lie (ou un anel de Lie) con produto de Lie [x, y], dqquela o centralizador dun subconxunto S de ${\mathfrak {L}}$ defínese como ^[4]

\mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ para todo }}s\in S\}.

A definición de centralizadores para aneis de Lie está ligada á definición de aneis do seguinte xeito. Se R é un anel asociativo, entón R pode dar o produto de corchetes de Lie [x, y] = xy − yx. Por suposto, entón xy = yx se e só se [x, y] = 0. Se denotamos o conxunto R co produto corchete como L_R, entón claramente o centralizador do anel de S en R é igual ao centralizador do anel de Lie de S en L_R.

O normalizador dun subconxunto S dunha álxebra de Lie (ou anel de Lie) ${\mathfrak {L}}$ está dado por ^[4]

\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.

Aínda que este é o uso estándar do termo "normalizador" na álxebra de Lie, esta construción é en realidade o idealizador do conxunto S en ${\mathfrak {L}}$ . Se S é un subgrupo aditivo de ${\mathfrak {L}}$ , entón $\mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)$ é o subanel de Lie máis grande (ou subálxebra de Lie, segundo o caso) no que S é un ideal de Lie.^[4]

Exemplo

Considere o grupo

G=S_{3}=\{[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]\}

(o grupo simétrico de permutacións de 3 elementos).

Tome un subconxunto H do grupo G:

H=\{[1,2,3],[1,3,2]\}.

Teña en conta que [1, 2, 3] é a permutación identidade en G e mantén a orde de cada elemento e [1, 3, 2] é a permutación que fixa o primeiro elemento e troca o segundo e o terceiro elemento.

O normalizador de H en relación ao grupo G son todos os elementos de G que dan o conxunto H (potencialmente permutado) cando se aplica a operación de grupo. Traballando o exemplo para cada elemento de G:

[1,2,3]

cando se aplica a H =>

\{[1,2,3],[1,3,2]\}=H

; polo tanto [1, 2, 3] está no Normalizador(H) con respecto a G.

[1,3,2]

cando se aplica a H =>

\{[1,3,2],[1,2,3]\}=H

; polo tanto [1, 3, 2] está no Normalizador(H) con respecto a G.

[2,1,3]

cando se aplica a H =>

\{[2,1,3],[3,1,2]\}\neq H

; polo tanto [2, 1, 3] non está no Normalizer(H) con respecto a G.

[2,3,1]

cando se aplica a H =>

\{[2,3,1],[3,2,1]\}\neq H

; polo tanto [2, 3, 1] non está no Normalizer(H) con respecto a G.

[3,1,2]

cando se aplica a H =>

\{[3,1,2],[2,1,3]\}\neq H

; polo tanto [3, 1, 2] non está no Normalizer(H) con respecto a G.

[3,2,1]

cando se aplica a H =>

\{[3,2,1],[2,3,1]\}\neq H

; polo tanto [3, 2, 2] non está no Normalizer(H) con respecto a G.

Polo tanto, o Normalizador(H) en relación a G é $\{[1,2,3],[1,3,2]\}$ xa que os dous elementos do grupo conservan o conxunto H.

Un grupo considérase simple se o normalizador en relación a un subconxunto é sempre a identidade e el mesmo. Aquí, está claro que S₃ non é un grupo simple.

O centralizador do grupo G é o conxunto de elementos que deixan cada elemento de H sen cambios. Está claro que o único elemento deste tipo en S₃ é o elemento identidade [1, 2, 3].

Notas

↑ Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Advanced Topics in Linear Algebra: Weaving Matrix Problems Through the Weyr Form. Oxford University Press. p. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
↑ Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups: A Structure Theory for Pro-Lie Algebras, Pro-Lie Groups, and Connected Locally Compact Groups. European Mathematical Society. p. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
↑ Jacobson (2009), p. 41
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 Jacobson 1979.

Véxase tamén

Bibliografía

Isaacs, I. Martin (2009). Algebra: a graduate course. Graduate Studies in Mathematics 100 (reprint of the 1994 original ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4799-2. MR 2472787. doi:10.1090/gsm/100.
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra 1 (2 ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
Jacobson, Nathan (1979). Lie Algebras (republication of the 1962 original ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-63832-4. MR 559927.

Outros artigos

[O'MearaClark2011-1] Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Advanced Topics in Linear Algebra: Weaving Matrix Problems Through the Weyr Form. Oxford University Press. p. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.

[HofmannMorris2007-2] Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups: A Structure Theory for Pro-Lie Algebras, Pro-Lie Groups, and Connected Locally Compact Groups. European Mathematical Society. p. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.

[3] Jacobson (2009), p. 41

[FOOTNOTEJacobson1979-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 Jacobson 1979.

[1]

[2]

[3]

[4]