Saltar ao contido

Conxunto unitario

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, un conxunto unitario [1] ou singleton, é un conxunto con exactamente un elemento. Por exemplo, o conxunto é un conxunto unitario cuxo único elemento é .

Propiedades[editar | editar a fonte]

No marco da teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel, o axioma de regularidade garante que ningún conxunto é un elemento de si mesmo. Isto implica que un conxunto unitario é necesariamente distinto do elemento que contén,[1]polo tanto 1 e non son o mesmo, e o conxunto baleiro é distinto do conxunto que contén só o conxunto baleiro. Un conxunto como é un conxunto unitario xa que contén un único elemento (que en si é un conxunto non unitario).

Un conxunto é unitario se e só se a súa cardinalidade é 1.

Na teoría axiomática de conxuntos, a existencia de conxuntos unirarios é unha consecuencia do axioma de emparellamento: para calquera conxunto A, o axioma aplicado a A e A afirma a existencia de que é o mesmo que o conxunto unitario (xa que contén A, e ningún outro conxunto, como elemento).

Cada sconxunto unitario é un obxecto terminal na categoría de conxuntos.

Un conxunto unitario ten a propiedade de que cada función desde el a calquera conxunto arbitrario é inxectiva. O único conxunto non singleton con esta propiedade é o conxunto baleiro.

Cada conxunto unitario é un ultra prefiltro.

A secuencia de números de Bell conta o número de particións dun conxunto (secuencia A000110 na OEIS), se se excúen os conxuntos unitarios, os números evidentemente son menores (secuencia A000296 na OEIS).

Na teoría de categorías[editar | editar a fonte]

As estruturas construídas con conxuntos unitarios adoitan servir como obxectos terminais ou obxectos cero de varias categorías:

  • A afirmación anterior mostra que os conxuntos unitarios son precisamente os obxectos terminais da categoría Conxunto de conxuntos. Ningún outro conxunto é terminal.
  • Calquera conxunto unitario admite unha estrutura espacial topolóxica única (ambos subconxuntos están abertos). Estes espazos topolóxicos únicos son obxectos terminais na categoría de espazos topolóxicos e funcións continuas. Non hai outros espazos terminais nesa categoría.
  • Calquera conxunto unitario admite unha estrutura de grupo única (o elemento único que serve como elemento de identidade). Estes grupos unitarios son obxectos cero na categoría de grupos e homomorfismos de grupos. Ningún outro grupo é terminal nesa categoría.

Definición por funcións indicadoras[editar | editar a fonte]

Sexa S unha clase definida por unha función indicadora Daquela S é un conxunto unitario se e só se hai algún tal que para tódolos

Notas[editar | editar a fonte]

  1. 1,0 1,1 Stoll, Robert (1961). Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. pp. 5–6. 

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]


  1. Dolecki & Mynard 2016.