Categoría (matemáticas)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Categoría.

Categoría formada por unha colección de tres obxectos: A, B, C e unha colección de morfismos denotados por f, g, e g ∘ f; os lazos son identidades.

En teoría de categorías, unha categoría é unha estrutura alxébrica que consta dunha colección de obxectos, conectados uns con outros mediante frechas tales que se cumpren as seguintes propiedades básicas: as frechas pódense compor unhas con outras de maneira asociativa, e para cada obxecto existe unha frecha que se comporta como un elemento neutro baixo a composición.

Un exemplo clásico é a categoría de conxuntos, no que os obxectos son conxuntos e as frechas son as funcións, e onde a composición de frechas é a composición usual de funcións. En xeral, os obxectos e as frechas poden ser obxectos abstractos de calquera tipo, e a noción de categoría prové dunha maneira abstracta e fundamental para describir entidades matemáticas e as súas relacións. Esta é a idea central da teoría de categorías, unha rama das matemáticas que busca xeneralizar todas as demais teorías matemáticas en termos de obxectos e frechas. Practicamente calquera rama das matemáticas modernas pódese describir en termos de categorías, e mediante esta descrición é común que se revelen propiedades e similitudes moi profundas entre áreas aparentemente distintas.

Dúas categorías son iguais se teñen a mesma colección de obxectos, a mesma colección de frechas, e a mesma forma asociativa de compor frechas. Dúas categorías tamén se poden considerar equivalentes mesmo se non son precisamente a mesma. Moitas categorías moi cotiás denótanse comunmente cunha abreviación do tipo dos seus obxectos, por exemplo: Con refírese á categoría de conxuntos, Top refírese á categoría de espazos topolóxicos, Ab refírese á categoría de grupos abelianos etc.

Definición

Hai varias definicións equivalentes dunha categoría. A máis habitual é a seguinte: unha categoría C consta de:

• unha clase ob(C) de obxectos
• para cada par de obxectos A, B en ob(C) un conxunto C(A,B) de frechas ou morfismos de A a B.
• para cada terna de obxectos A, B, C de C unha función ∘:C(A,B)×C(B,C)→C(A,C) onde ∘(f,g) se denota g ∘ f.

Ademais, os seguintes axiomas deben ser certos:

• Asociatividade: para calquera terna de frechas f, g, h cúmprese que h ∘ (g ∘ f)=(h ∘ g) ∘ f, se é que estas composicións están definidas.
• Identidade: para todo obxecto A en ob(C) existe unha frecha en C(A,A) comunmente denotada 1_A tal que para toda frecha f en C(A;B) f=1_B ∘ f e f=f ∘ 1_A.

Destes axiomas pódese deducir facilmente que existe unha única frecha identidade para cada obxecto.

Historia

A noción de categoría, e en xeral, as primeiras nocións de teoría de categorías, apareceron por primeira vez en 1945 nun artigo de Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane chamado "General Theory of Natural Equivalences" (Teoría xeral das equivalencias naturais).

Exemplos

• A categoría Con é aquela que ten como obxectos todos os conxuntos e se A e B son conxuntos, entón Con(A,B) é o conxunto de funcións con dominio A e codominio B. Esta é a categoría máis comunmente empregada nas matemáticas.
• Calquera clase pode ser vista como unha categoría que so ten como morfismos os morfismos identidade. Chámanse categorías discretas e son o tipo máis simple de categoría.
• Carquer conxunto preordenado (P, ≤) forma unha categoría na que os obxectos son os elementos de P e os morfismos as frechas que van de x a y cando x ≤ y.
• Calquera monoide, grupo e grupoide poden considerarse categorías.

Grafo orientado

• Un grafo orientado xera unha categoría: os obxectos son os vértices do grafo e os morfismos os camiños do grafo. A composición dos morfismos é a concatenación de camiños.

Construción de novas categorías

Categoría dual

Calquera categoría C pode ser considerada unha nova categoría cunha forma diferente: os obxectos son os mesmos que na categoría orixinal pero as frechas son as que estaban na categoría orixinal invertidas. Chámase categoría dual ou oposta e denótase C^op.

Categorías produto

Se C e D son categorías, pódese construír a categoría produto C × D: os obxectos son pares que consisten nun obxecto de C e outro de D, e os morfismos son tamén pares que consisten nun morfismo de C e outro de D. Estes pares poden tamén comporse.

Véxase tamén

Bibliografía

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 21 de abril de 2015. Consultado o 09 de maio de 2017.  (now free on-line edition, GNU FDL).
• Asperti, Andrea; Longo, Giuseppe (1991). Categories, Types and Structures (PDF). MIT Press. ISBN 0-262-01125-5. .
• Awodey, Steve (2006). Category theory. Oxford logic guides 49. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856861-2. .
• Barr, Michael; Wells, Charles (2005). Toposes, Triples and Theories. Reprints in Theory and Applications of Categories 12 (revised ed.). MR 2178101. .
• Borceux, Francis (1994). "Handbook of Categorical Algebra". Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 50–52. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06119-9. .
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007). Category Theory. Heldermann Verlag. .
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7. .
• Lawvere, William; Schanuel, Steve (1997). Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-47249-0. .
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. .
• Marquis, Jean-Pierre (2006). "Category Theory". En Zalta, Edward N. Stanford Encyclopedia of Philosophy. .
• Sica, Giandomenico (2006). What is category theory?. Advanced studies in mathematics and logic 3. Polimetrica. ISBN 978-88-7699-031-1. .

Outros artigos

• Categoría enriquecida
• Teoría de categorías de orde superior