Saltar ao contido

Se e só se

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Equivalencia
Diagrama de Venn da equivalencia material (en vermello a parte verdadeira)
Outros nomesbicondicional
se e só se
necesario e suficiente
iff
linguaxe naturalse e só se
linguaxe formal
outros símbolos,
táboa de verdade
porta lóxica

Na lóxica e campos relacionados, como as matemáticas e a filosofía, "se e só se" (en inglés abreviado como "iff") é a frase indicando o bicondicional, un conectivo lóxico [1] entre enunciados. O bicondicional é verdadeiro en dous casos, onde ambas as afirmacións son verdadeiras ou ambas as dúas son falsas. O conectivo é unha declaración de equivalencia material,[2] o resultado é que a verdade dun dos enunciados conectados require a verdade do outro (é dicir, ou ambos os enunciados son verdadeiros, ou ambos os dous son falsos). Por exemplo, P se e só se Q significa que P é verdade sempre que Q é verdadeira, e o único caso no que P é verdadeira é se Q tamén é verdadeira.

Na escrita, as frases que se usan habitualmente como alternativas inclúen: Q é necesaria e suficiente para P, para P é necesario e suficiente que Q, P é equivalente a Q, P exactamente no caso de Q, e P só no caso de Q. Nas fórmulas lóxicas, empréganse os símbolos lóxicos, como e .[3]

Definición

[editar | editar a fonte]

 

A táboa de verdade de P Q é a seguinte:[4][5]

FFVFVVV
FVFFVFF
VFFFFVF
VVFVVVV

(onde V é verdadeiro e F é falso).

Notación

[editar | editar a fonte]

Os símbolos lóxicos correspondentes son "", "", [3] e , [6] e ás veces "iff" (polo inglés "if and only if"). Normalmente trátanse como equivalentes. Na notación polaca de Łukasiewicz, é o símbolo do prefixo . [7]

Outro termo para o conectivo lóxico, é dicir, o símbolo nas fórmulas lóxicas, é o nor exclusivo (XNOR), que é un ou outro exclusivo e finalmente negado (non ou exclusivo).

En TeX e a súa variante LaTeX, "se e só se" móstrase como unha dupla frecha longa: mediante os comandos \iff ou \Longleftrightarrow.[8]

Uso nas probas

[editar | editar a fonte]

Na maioría dos sistemas lóxicos, pódese probar unha afirmación da forma "P se o só se Q" demostrando "se P, logo Q" e "se Q, logo P", ou "se P, logo Q" e "se non-P, logo non-Q". Probar estes pares de enunciados ás veces leva a unha proba máis natural, xa que non hai condicións obvias nas que se inferiría directamente un bicondicional. Unha alternativa é probar a disxunción "(P e Q) ou (non-P e non-Q)", que se pode deducir directamente de calquera das súas disxuncións, é dicir, como "se e só se" é función de verdade, "P se e só se Q" obtense se se demostrou que P e Q son ambos os dous verdadeiros ou falsos.

En termos de diagramas de Euler

[editar | editar a fonte]

Os diagramas de Euler mostran relacións lóxicas entre eventos, propiedades, etc. "P só se Q", "se P logo Q" e "P→Q" todos significan que P é un subconxunto, propio ou impropio, de Q. "P se Q", "se Q logo P" e Q→P todos significan que Q é un subconxunto propio ou impropio de P. "P se e só se Q" e "Q se e só se P" significan que os conxuntos P e Q son idénticos entre si.

  1. "Logical Connectives". sites.millersville.edu. Consultado o 2023-09-10. 
  2. Copi, I. M.; Cohen, C.; Flage, D. E. (2006). Essentials of Logic (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Education. p. 197. ISBN 978-0-13-238034-8. 
  3. 3,0 3,1 Peil, Timothy. "Conditionals and Biconditionals". web.mnstate.edu. Arquivado dende o orixinal o 24 October 2020. Consultado o 2020-09-04. 
  4. p <=> q Arquivado 18 October 2016 en Wayback Machine.. Wolfram|Alpha
  5. If and only if. UHM Department of Mathematics. Arquivado dende o orixinal o 5 May 2000. Consultado o 16 October 2016. Os teoremas que teñen a forma "P se e só Q" son moi apreciados en matemáticas. Dan as que se chaman condicións "necesarias e suficientes" e dan formas novas completamente equivalentes e, con sorte, interesantes de dicir exactamente o mesmo. 
  6. Weisstein, Eric W. "Equivalent". mathworld.wolfram.com (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 3 October 2020. Consultado o 2020-09-04. 
  7. "Jan Łukasiewicz > Łukasiewicz's Parenthesis-Free or Polish Notation (Stanford Encyclopedia of Philosophy)". plato.stanford.edu. Arquivado dende o orixinal o 9 August 2019. Consultado o 2019-10-22. 
  8. "LaTeX:Symbol". Art of Problem Solving. Arquivado dende o orixinal o 22 October 2019. Consultado o 2019-10-22. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]


Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]