Saltar ao contido

Función indicadora

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Un gráfico tridimensional dunha función indicadora, mostrado sobre un dominio cadrado bidimensional (conxunto X): a parte "erguida" mostra os puntos bidimensionais que son membros do subconxunto "indicado" (A).

En matemáticas, unha función indicadora ou función característica dun subconxunto dun conxunto é unha función que asigna o valor 1 aos elementos do subconxunto e o valor 0 ao resto de elementos. É dicir, se A é un subconxunto dalgún conxunto X, entón se e se . A notación é común para a función indicadora. Outras notacións comúns son e

A función indicadora de A tamén a podemos representar mediante o corchete de Iverson da propiedade de pertencer a A; é dicir,

Por exemplo, a función de Dirichlet é a función indicadora dos números racionais como subconxunto dos números reais.

Definición

[editar | editar a fonte]

A función indicadora dun subconxunto A dun conxunto X é unha función

definida como

O corchete de Iverson proporciona outra notación equivalente, en lugar de

A función ás veces denótase IA, χA, KA. [a][b]

Propiedades básicas

[editar | editar a fonte]

A función indicador dun subconxunto A dalgún conxunto X asigna elementos de X no rango .

Este mapa é sobrexectivo só cando A é un subconxunto propio non baleiro de X. Se entón Por un argumento semellante, se entón

Se e son dous subconxuntos de daquela

e a función indicadora do complemento de é dicir é:

De xeito máis xeral, supoña que son unha colección de subconxuntos de X. Para calquera

é claramente un produto de 0s e 1s. Este produto ten o valor 1 precisamente neses que non pertencen a ningún dos conxuntos e é 0 en caso contrario. É dicir

Expandendo o produto no lado esquerdo,

onde é a cardinalidade de F. Esta é unha das formas do principio de inclusión-exclusión.

A función indicadoar é unha notación útil en combinatoria. A notación úsase tamén por exemplo na teoría da probabilidade: se X é un espazo de probabilidade con medida de probabilidade e A é un conxunto medible, entón convértese nunha variable aleatoria cuxo valor esperado é igual á probabilidade de A:

Esta identidade úsase nunha proba simple da desigualdade de Markov.

  1. A letra grega χ aparece porque é a letra inicial da palabra grega χαρακτήρ, que é a orixe da palabra característica.
  2. O conxunto de todas as funcións indicadoras en X pódese identificar con o conxunto de partes de X. En consecuencia, ambos os conxuntos son ás veces denotados por Este é un caso especial () da notación para o conxunto de todas as funcións

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]