Función de Dirichlet

En matemática, a función de Dirichlet^[1]^[2], chamada así en honra ao matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet, é unha función matemática especial, que ten a peculiaridade de non ser continua en ningún punto do seu dominio.

Indica os números racionais como subconxunto dos reais.

Definición

Se c,d $\in \mathbb {R}$ , c $\neq$ d, defínese a función de Dirichlet como:

$D(x)={\begin{cases}c,&{\text{se }}x\in \mathbb {Q} \\d,&{\text{se }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

Usualmente tómanse os valores de $c=1$ e $d=0$ .

Propiedades

Para $c=1$ e $d=0$ , a función de Dirichlet é a función indicadora dos números racionais como subconxunto dos números reais.

A función de Dirichlet é descontinua en todo punto do seu dominio.

Demostración

Para probar que $D$ non é continua nun punto $x\in \mathbb {R}$ , precisamos ver que $\exists \varepsilon >0:\forall \delta >0,\,\exists y\in ]x-\delta ,x+\delta [$ tal que $\vert D(x)-D(y)\vert \geq \varepsilon$ .

Se $x\in \mathbb {Q}$ , entón $D(x)=1$ . Podemos tomar $\varepsilon ={\frac {1}{2}}$ . Como os irracionais son densos en $\mathbb {R}$ , non importa qué $\delta$ tomemos, podemos asegurar a existencia dun $y\in ]x-\delta ,x+\delta [\cap (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )$ tal que $\vert D(x)-D(y)\vert =\vert 1-0\vert =1\geq \varepsilon$ .

Se $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ , entón $D(x)=0$ . Podemos tomar de novo $\varepsilon ={\frac {1}{2}}$ . Como os racionais son densos en $\mathbb {R}$ , non importa qué $\delta$ tomemos, podemos asegurar a existencia dun $y\in ]x-\delta ,x+\delta [\cap (\mathbb {Q} )$ tal que $\vert D(x)-D(y)\vert =\vert 0-1\vert =1\geq \varepsilon$ .

Analiticamente, a función de Dirichlet pódese representar como o límite dobre dunha sucesión de funcións: . $D(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)^{2j}\right)\right)$
A función de Dirichlet é periódica, xa que $D(x+q)=D(x)\quad \forall x\in \mathbb {R} ,\forall q\in \mathbb {Q}$ .Esta función, por tanto, é un exemplo dunha función periódica non constante cuxo conxunto de períodos é denso en $\mathbb {R}$ (os racionais).