Función de Thomae

A Función de Thomae, chamada así en honra a Carl Johannes Thomae, tamén coñecida como a función das pipocas, a función gotas de choiva, a función das nubes numerables, a función modificada de Dirichlet, a función da regra^[1], ou as estrelas sobre Babilonia (por John Horton Conway) é unha modificación da función de Dirichlet. O valor real da función f(x) defínese como segue:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}},&{\text{se }}x\in \mathbb {Q} |x={\frac {p}{q}},q\in \mathbb {N} ,p\in \mathbb {Z} \land {\text{mcd}}(p,q)\\0,&{\text{se }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

onde:

ℚ é o conxunto dos números racionais
ℕ é o conxunto dos números naturais
ℤ é o conxunto dos números enteiros
mcd é o máximo común divisor

Se x = 0, tómase q = 1. Asumindo que o mcd(p, q) = 1 e q > 0 dá unha representación única do número racional (exemplo, excluíndo a representación de 2/4 como 1/2) facendo de f unha función ben definida.

Descontinuidades

A función das pipocas é talvez o exemplo máis simple dunha función cun complexo conxunto de descontinuidades: f é continua en todos os números irracionais e descontinua en todos os números racionais.

Demostración informal

Claramente, f é descontinua en todos os racionais: desde que os irracionais son densos nos reais, para algún racional 'x', sen importar que $\varepsilon$ se elixa, podemos atopar un irracional 'a' a unha distancia menor que $\varepsilon$ onde f(a) = 0 (pero f(x) é positivo). Noutras palabras, f non se pode aproximar a calquera número positivo, xa que o seu codominio está cheo de ceros.

Para mostrar a continuidade nos irracionais, sen perda de xeneralidade supomos que $\varepsilon$ é racional (para algún $\varepsilon$ irracional podemos optar por unha $\varepsilon$ racional máis pequena e a proba é transitiva). Posto que $\varepsilon$ é racional, pode ser expresada en termos máis sinxelos como a/b. Queremos mostrar que f é continua en 'x' cando 'x' é irracional.

Note que f toma o seu valor máximo de 1 en cada número enteiro, polo que podemos restrinxir o noso estudo entre $\lfloor x\rfloor$ e $\lceil x\rceil$ . Como $\varepsilon$ ten un denominador finito b, os únicos valores para os que f pode devolver un valor maior a $\varepsilon$ son os que teñen un denominador menor ou igual a b. Non só existe un número finito de valores entre dous enteiros con denominador menor ou igual que b, polo que estes pódense enumerar de maneira exhaustiva. Elixindo $\delta$ como a distancia máis pequena próxima de 'x' a un destes valores garante que todos os valores cunha distancia menor teñan f(x) < $\varepsilon$ .

Integrabilidade

A función é Riemann integrable^[2] baixo o seguinte criterio:

Criterio de Lebesgue para a integrabilidade de Riemann

Sexa f unha función definida e limitada en [a,b] e sexa D o conxunto das descontinuidades de f en [a,b]. Entón f $\in R$ (con $R$ o conxunto das funcións Riemann integrables) en [a,b] se, e só se, D ten medida cero.

Ademais, o conxunto de descontinuidades son os números racionais, e os racionais son numerables, o conxunto ten medida cero, polo que a función no [0, 1], verifica o criterio de Lebesgue, e por tanto é Riemann integrable no [0, 1].

Seguimento

Unha pregunta natural é se hai unha función continua nos números racionais e descontinua nos números irracionais. Isto é imposible porque o conxunto de descontinuidades dunha función debe ser un conxunto $F_{\sigma }$ , unión numerable de conxuntos pechados. Se tal función existise, os irracionais serían un conxunto $F_{\sigma }$ e por tanto, xa que non conteñen un intervalo, serían un conxunto escaso. Como os números reais, son a unión de racionais e irracionais, serían un conxunto escaso. Isto contradi o Teorema de categoría de Baire.

Unha variante da función das pipocas pode ser usada para mostrar que calquera conxunto $F_{\sigma }$ de números reais pode ser un conxunto de descontinuidades dunha función. Se $\scriptstyle A\;=\;\bigcup _{n=1}^{\infty }F_{n}$ é a unión numerable de conxuntos pechados $\scriptstyle F_{n}$ , definimos

f_{A}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}{\text{ se }}x\in \mathbb {Q} {\text{ e }}n{\text{ é mínima para que }}x\in F_{n}\\-{\frac {1}{n}}{\text{ se }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} {\text{ e }}n{\text{ é mínima para que }}x\in F_{n}\\0{\text{ se }}x\notin A\end{cases}}

Un argumento similar ao utilizado para a función das pipocas mostra que $\scriptstyle f_{A}$ ten a A como conxunto de descontinuidades.

Notas

↑ "… a chamada función da regra, un exemplo simple pero provocativo que apareceu nunha obra de Johannes Karl Thomae... O gráfico suxire que as marcas verticais están nunha regra, de aí o nome." William Dunham, La Galería de cálculo, capítulo 10
↑ Spivak, M. (p. 53, Theorem 3-8)

Véxase tamén

Bibliografía

Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert (1999), Introdución á Análise Real, 3.ª Edición (Exemplo 5.1.6 (h)). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4
Spivak, M. Cálculo en variedades. 1965. Perseus Books. ISBN 0-8053-9021-9
Abbot, Stephen. Entendendo Análise. Berlín: Springer, 2001. ISBN 0-387-95060-5

Ligazóns externas

Weisstein, Eric W. "Dirichlet Function". MathWorld.
Um gráfico Interessante (en portugués)

[1] "… a chamada función da regra, un exemplo simple pero provocativo que apareceu nunha obra de Johannes Karl Thomae... O gráfico suxire que as marcas verticais están nunha regra, de aí o nome." William Dunham, La Galería de cálculo, capítulo 10

[2] Spivak, M. (p. 53, Theorem 3-8)

[1]

[2]