Corchete de Iverson
En matemáticas, o corchete de Iverson, que recibe o nome de Kenneth Iverson, é unha notación que devolve o número 1 se unha condición é verdadeira e 0 en caso contrario. Máis precisamente,
![{\displaystyle [P]={\begin{cases}1&{\text{se }}P{\text{ é verdade,}}\\0&{\text{se non,}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb914609c28e15e420e221572b83964f326d690)
onde P é unha proposición que pode ser verdadeira ou falsa.[1],[2]
Uso
[editar | editar a fonte]A notación é útil para expresións de sumas ou integrais sen condicións de contorno. Por exemplo
![{\displaystyle \sum _{1\leq i\leq 10}i^{2}=\sum _{i}i^{2}[1\leq i\leq 10].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8bc0a6901293259c1932337d4be58496ba497f0)
Na primeira suma, o contador está limitado ao rango de 1 a 10. Na segunda suma, pode pasar por todos os números enteiros, mais cando é estritamente menor que 1 ou estritamente maior que 10, o termo correspondente da suma é cero, polo que non inflúe no total. Este uso de corchetes pode facilitar o manexo destas expresións.
Outro uso do corchete de Iverson é simplificar ecuacións con condicións especiais. Por exemplo, a fórmula
(unha relación da teoría de números relacionada coa función totiente de Euler) que só se verifica para pódese escribir:
![{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop \gcd(k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n(\varphi (n)+[n=1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25c71d0e09fb43a028c48fc640101a56eead61a5)
que é válida para calquera número natural .
Casos particulares
[editar | editar a fonte]O símbolo de Kronecker é un caso particular da notación de Iverson cando a condición é unha igualdade. Temos:
![{\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a439eacd45a1c17da4934f87b0a6e06d791523f2)
A función indicadora, outro caso particular, cando a condición é unha pertenza:
![{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00af42be0e623a2d4254bcc50c72239c4d5dece0)
A función signo e a función paso de Heaviside tamén se poden expresar facilmente mediante esta notación:
![{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=[x>0]-[x<0]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31aea74eeab1057ee6e131f27b868c8eb7ad2bc)
![{\displaystyle H(x)=[x>0]+{\frac {1}{2}}[x=0].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772b72cda55ea374e0969ec32923e3f677e3b784)
As funcións chan e teito pódense expresar mediante:
![{\displaystyle \lfloor x\rfloor =\sum _{n=-\infty }^{\infty }n[n\leq x<n+1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c30ea275724de8b2f63eaf13cdb0f999b32d24)
![{\displaystyle \lceil x\rceil =\sum _{n=-\infty }^{\infty }n[n-1<x\leq n].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3727f74fcf051383508aafdfabca586a1db56da0)
E a tricotomía dunha orde total pódese expresar por :
![{\displaystyle [a<b]+[a=b]+[a>b]=1.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e280907f7bd05ccac9287e7db7940ec199d3bc3c)
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Kenneth E. Iverson, A Programming Language, New York, Wiley, 1962, p. 11
- ↑ Ronald Graham, Donald Knuth et Oren Patashnik, Concrete Mathematics, Section 2.2: Sums and Recurrences
