Función signo

Función signo $y=\operatorname {sgn} x$

En matemáticas, a función signo é unha función que devolve o signo dun número real. En notación matemática a función signo a miúdo represéntase como $\operatorname {sgn}(x)$.

Definición

A función signo dun número real $x$ é unha función por intervalos que se define como segue: $$\operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$$

Os números con función signo 1 son números positivos.

Os números con función signo -1 son números negativos.

Propiedades

A función signo é discontínua en x = 0.

Calquera número real pódese expresar como o produto do seu valor absoluto e a súa función signo $x=|x|\operatorname {sgn} x.$

Daquela, cando $x$ non é igual a 0 temos $\operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}$.

Tamén temos:$\operatorname {sgn} x^{n}=(\operatorname {sgn} x)^{n}$.

A función signo é a derivada da función valor absoluto, sen incluír o cero.${\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x{\text{ para }}x\neq 0.$

A función signo é diferenciable con valor 0 en tódalas partes agás en x = 0.

Outra identidade, usando a función de Heaviside sería $\operatorname {sgn} x=2H(x)-1$.

Signo complexo

A función signo pódese xeneralizar a números complexos como:$$\operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}$$para calquera número complexo $z$ agás $z=0$. O signo dun número complexo dado $z$ é o punto da circunferencia unitaria do plano complexo que está máis próximo a $z$. Entón, para $z\neq 0$,$\operatorname {sgn} z=e^{i\arg z},$ onde $\arg$ é o argumento do número complexo.

Por razóns de simetría, e para manter unha axeitada xeneralización da función signo nos reais, tamén no dominio complexo adóitase definir, para $z=0,\operatorname {sgn}(0+0i)=0$.

Outra xeneralización da función de signo para expresións reais e complexas é ${\text{csgn}}$, que se define en función do signo das partes real ${\text{Re}}(z)$ e imaxinaria ${\text{Im}}(z)$: $$\operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}$$Logo temos (para $z\neq 0$ ):$$\operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.$$

Véxase tamén

Outros artigos

• Valor absoluto