Conxunto de partes

En matemáticas, o conxunto de partes (ou conxunto potencia) dun conxunto S é o conxunto de todos os subconxuntos de S, incluíndo o conxunto baleiro e o propio S. Na teoría de conxuntos axiomáticos (como se desenvolve, por exemplo, nos axiomas ZFC), a existencia do conxunto de partes de calquera conxunto é postulada polo axioma do conxunto de partes. O conxunto de partes de S denótase de varias maneiras como P(S), 𝒫(S), P(S), $\mathbb {P} (S)$, $\wp (S)$, ou 2^S. Calquera subconxunto de P(S) chámase familia de conxuntos sobre S.

Exemplo

Diagrama de Hasse das inclusións entre os subconxuntos de S.

Se S é o conxunto {x, y, z}, entón todos os subconxuntos de S son

• {{} } (tamén escrito como $\varnothing$ ou $\emptyset$, o conxunto baleiro)
• { x }
• { y }
• { z }
• { x, y }
• { x, z }
• { y, z }
• { x, y, z }

e, polo tanto, o conxunto de partes de S é { { }, { x }, { y }, { z }, { x, y }, { x, z }, { y, z }, { x, y, z } } .

Propiedades

Cardinalidade

Se S é un conxunto finito coa cardinalidade |S| = n (é dicir, o número de todos os elementos do conxunto S é n), entón o número de todos os subconxuntos de S é |P(S)| = 2ⁿ. Este feito demóstrase a continuación.

Unha función indicadora dun subconxunto A dun conxunto S coa cardinalidade |S| = n é unha función de S no conxunto de dous elementos {0, 1} denotada como I_A : S → {0, 1 }, e indica se un elemento de S pertence ou non a A. Se x en S pertence a A, daquela I_A(x) = 1, e 0 no caso contrario. Cada subconxunto A de S identifícase ou é equivalente á función indicadora I_A, e a {0,1}^S pois o conxunto de todas as funcións de S a {0, 1} consta de todas as funcións indicadoras de todos os subconxuntos de S. Noutras palabras, {0, 1}^S é equivalente ou bixectivo ao conxunto de partes P(S) . Dado que cada elemento en S corresponde a 0 ou 1 baixo calquera función en {0, 1}^S, o número de todas as funcións en {0, 1}^S é 2ⁿ. Dado que o número 2 pódese definir como {0, 1} (ver, por exemplo, os ordinais de von Neumann), o P(S) tamén se denota como 2^S. Obviamente temos |2^S| = 2^|S|. En xeral, X^Y é o conxunto de todas as funcións de Y en X e |X^Y| = |X|^|Y| .

O argumento da diagonal de Cantor mostra que o conxunto de partes dun conxunto (sexa infinito ou non) sempre ten unha cardinalidade estritamente maior que o conxunto en si (ou informalmente, o conxunto de partes debe ser maior que o conxunto orixinal). En particular, o teorema de Cantor mostra que o conxunto de partes dun conxunto numerable infinito é incontablemente infinito. O conxunto de partes do conxunto de números naturais pódese poñer nunha correspondencia un a un co conxunto de números reais (ver Cardinalidade do continuo).

Teoría de Conxuntos

Na teoría de Conxuntos, en particular na sáa formulación segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe un axioma cuxa finalidade é garantir a existencia do conxunto de partes: o axioma do conxunto de partes.

Álxebra

O conxunto de partes dun conxunto S, xunto coas operacións de unión, intersección e complemento, é unha sigma-álxebra sobre S e pódese ver como o exemplo prototípico dunha álxebra de Boole. De feito, pódese demostrar que calquera álxebra booleana finita é isomórfica á álxebra booleana do conxunto de partes dun conxunto finito. Para as álxebras booleanas infinitas, isto xa non é certo, pero toda álxebra booleana infinita pódese representar como unha subálxebra dunha álxebra booleana de conxuntos de partes (ver o teorema de representación de Stone).

O conxunto de partes dun conxunto S forma un grupo abeliano cando se considera coa operación de diferenza simétrica (co conxunto baleiro como elemento de identidade e cada conxunto sendo o seu propio inverso), e forma un monoide conmutativo cando se considera coa operación de intersección. Polo tanto, pódese demostrar, comprobando as leis distributivas, que o conxunto de partes xunto con estas dúas operacións forma un anel booleano.

Véxase tamén

Bibliografía

• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003. 
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403. 
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Sheaves in Geometry and Logic. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4. 
• Puntambekar, A. A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8. 
• Weisstein, Eric W. "Power Set". mathworld.wolfram.com. Arquivado dende o orixinal o 2023-04-06. Consultado o 2020-09-05. 

Ligazóns externas

• Power set at PlanetMath.
• Power set at the nLab
• Power object at the nLab