Saltar ao contido

Sigma-álxebra

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En análise matemática e teoría da probabilidade, unha σ-álxebra sobre un conxunto X é unha colección non baleira Σ de subconxuntos de X pechados baixo a complementación, a unión numerable e a intersección numerable. O par ordenado chámase espazo medible.

Definición

[editar | editar a fonte]

Dado un conxunto non baleiro , e o seu conxunto de partes, dicimos que é unha -álxebra en se se satisfán as seguintes condicións:[1]

  • O conxunto baleiro e o conxunto total son elementos de .
  • Dado un elemento , o seu conxunto complementario tamén pertence a .
  • (-aditividade) Dado un conxunto numerable , o conxunto unión tamén pertence a .

Dado un conxunto e unha -álxebra en , chamamos espazo medible ao par formado por .

Propiedades das -álxebras

[editar | editar a fonte]

Sexa un espazo medible. Pódese demostrar que

  • (Aditividade finita) Dado un conxunto finito de elementos de , o conxunto unión (finita) tamén é un elemento de .
  • Dado un conxunto numerable de elementos de , o conxunto intersección (numerable) tamén pertence a . Desta propiedade dedúcese que tamén ocorre o mesmo para a intersección finita de elementos de .
  • Dados dous elementos de , o conxunto tamén pertence a .

Exemplos de -álxebras

[editar | editar a fonte]
  • Chamamos -álxebra trivial á -álxebra formada polo conxunto baleiro e o total: . Trátase da -álxebra máis pequena sobre .
  • A maior -álxebra posible sobre é o conxunto . Calquera -álxebra sobre satisfai que .
  • Dadas dúas -álxebras e , a súa intersección é tamén unha -álxebra en .
  • Dado un subconxunto , a menor -álxebra sobre que contén a é .
  • Dado , a menor -álxebra sobre que contén a é a intersección de todas as -álxebras que conteñen a . Denominámola -álxebra xerada por .
  • Dado un conxunto , denominamos -álxebra inducida a . Esta é unha -álxebra sobre o conxunto .

Funcións medibles e -álxebras

[editar | editar a fonte]

Dicimos que unha función é medible se a preimaxe dun conxunto medible en é medible en , isto é, se para cada tense que .

A noción de función medible motiva a definición das seguintes -álxebras:

σ-álxebra mínima

[editar | editar a fonte]

Sexa un conxunto, un espazo medíbel e unha aplicación.

Daquela, a familia

é unha -álxebra sobre .

Por construción, esta é a mínima -álxebra (no sentido da inclusión) sobre tal que a función é medíbel.

σ-álxebra máxima

[editar | editar a fonte]

Sexa un espazo medíbel, un conxunto e unha aplicación.

Daquela, a familia

é unha -álxebra sobre .

Trátase da máxima -álxebra (no sentido da inclusión) sobre tal que a función é medíbel.

-álxebra de Lebesgue

[editar | editar a fonte]
  1. "11. Measurable Spaces". Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes. University of Alabama in Huntsville, Department of Mathematical Sciences. Consultado o 30 March 2016. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]