Saltar ao contido

Función medible

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, e en particular na teoría da medida, unha función medible é unha función entre os conxuntos subxacentes de dous espazos medíbeis que preserva a estrutura dos espazos: a preimaxe de calquera conxunto medíbel é medíbel. Isto é en analoxía directa coa definición de que unha función continua entre espazos topolóxicos preserva a estrutura topolóxica: a preimaxe de calquera conxunto aberto é aberto. Na análise real, utilízanse funcións medíbeis na definición da integral de Lebesgue. Na teoría da probabilidade, unha función medíbel nun espazo de probabilidade coñécese como variábel aleatoria.

Definición

[editar | editar a fonte]

Imos mostrar dúas defincións de función medíbel, unha delas máis usada na Teoría da medida e outra de uso máis frecuente na Teoría da probabilidade:

  • Sexan os espazos medíbeis e , significando que e son conxuntos equipados con cadansúa -álxebras e Unha función dise medíbel se para todo a preimaxe de baixo está en ; isto é, para todo temos .[1]
  • Consideremos o espazo medible . Sexan e (onde é a recta real estendida). Dicimos que é medible en se para todo . [1]

Función característica dun conxunto

[editar | editar a fonte]

Dado , a función indicadora ou función característica de é a seguinte función medibleEn efecto, dado temos quee nos tres casos obtemos un conxunto pertencente á -álxebra.

Propiedades das funcións medibles

[editar | editar a fonte]
  • Consideremos e unha función medible. Para cada con temos que a restricción de a é medible en
  • Consideremos unha colección numerable de conxuntos medibles e unha función medible en cada . Temos que é medible no conxunto
  • Unha función , con un conxunto medible, é medible se, e só se, para cada aberto e, ademais,
  • Dadas con un conxunto medible, tamén serán funcións medibles , con

Propiedades das funcións características

[editar | editar a fonte]
  • Se , entón .

Definición de función simple e función simple medible

[editar | editar a fonte]

Dado un subconxunto , dicimos que unha función é unha función simple se existen

  • Unha colección de conxuntos disxuntos dous a dous cuxa unión coincida co conxunto
  • Unha colección de escalares

de maneira que Se, considerando agora o espazo medible , temos que e a colección de conxuntos é tal que , entón a función chamarase función simple medible.

  1. 1,0 1,1 "Measurable Functions" (PDF). Universidade Alberta. p. 1. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]
  • Bartle, R.G.B (1995). The elements of integration and Lebesgue Measure. Wisley. 
  • Del Castillo, F (1987). Análisis Matemático II. Alhambra. 
  • Cohn, D. L. (2013). Measure Theory. Birkhauser. 
  • de Barra, G. (1981). Measure Theory and Integration. John Wiley. 
  • de Barra, G. (2015). Measure Theory and fine properties of functions. Chapman and Hall. 
  • de Barra, G. (2005). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press. 

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]