Función simple

No campo matemático da análise real, unha función simple é unha función con valores reais (ou complexos) sobre un subconxunto da liña real, semellante a unha función en escada. As funcións simples son o suficientemente "agradábeis" como para que o seu uso facilite o razoamento matemático, a teoría e a demostración. Por exemplo, as funcións simples alcanzan só un número finito de valores. Algúns autores tamén requiren que as funcións simples sexan medíbeis; como se usa na práctica, xa isto é así.

Un exemplo básico dunha función simple podería ser a función chan sobre o intervalo semiaberto [1, 9), cuxos únicos valores son {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Un exemplo máis avanzado é a función de Dirichlet sobre a liña real, que toma o valor 1 se x é racional e 0 en caso contrario. (Así, o "simple" de "función simple" ten un significado técnico un pouco contrario á linguaxe común.) Tódalas funcións en escada son simples.

Definición

Formalmente, unha función simple é unha combinación linear finita de funcións indicadoras de conxuntos medíbeis. Máis precisamente, sexa (X, Σ) un espazo medíbel. Sexa A ₁ ,... , A _n ∈ Σ unha secuencia de conxuntos medíbeis disxuntos, e sexa a₁ ,... , a_n unha secuencia de números reais ou complexos. Unha función simple é unha función $f:X\to \mathbb {C}$ da forma

f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x),

onde ${\mathbf {1} }_{A}$ é a función indicadora do conxunto A .

Propiedades das funcións simples

A suma, a diferenza e o produto de dúas funcións simples son tamén funcións simples, tamén o é a multiplicación por unha constante; daí dedúcese que o conxunto de todas as funcións simples nun espazo medíbel dado forma unha álxebra conmutativa sobre $\mathbb {C}$ .

Integración das funcións simples

Se unha medida μ está definida no espazo (X ,Σ), a integral de f en relación a μ é

\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}),

se todos os sumandos son finitos.

Relación coa integración de Lebesgue

A integral anterior pódese estender a unha clase máis xeral de funcións, que é como se define a integral de Lebesgue. Esta extensión baséase no seguinte feito.

Teorema. Calquera función medíbel non negativa

f\colon X\to \mathbb {R} ^{+}

é o límite por puntos dunha secuencia crecente monótona de funcións simples non negativas.

Está implícito na afirmación que a sigma-álxebra no co-dominio $\mathbb {R} ^{+}$ é a restrición da σ-álxebra de Borel, ${\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )$ en $\mathbb {R} ^{+}$ . A proba procede do seguinte xeito:

Sexa $f$ unha función medíbel non negativa definida sobre o espazo de medida $(X,\Sigma ,\mu )$ . Para cada $n\in \mathbb {N}$ , subdividimos o codominio de $f$ en $2^{2n}+1$ intervalos, $2^{2n}$ deles teñen lonxitude $2^{-n}$ . É dicir, para cada $n$ , definimos

I_{n,k}=\left[{\frac {k-1}{2^{n}}},{\frac {k}{2^{n}}}\right)

para

k=1,2,\ldots ,2^{2n}

, e

I_{n,2^{2n}+1}=[2^{n},\infty )

,

que son disxuntos e cobren a recta real non negativa ( $\mathbb {R} ^{+}\subseteq \cup _{k}I_{n,k},\forall n\in \mathbb {N}$ ).

Agora definimos os conxuntos

A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})\,

para

k=1,2,\ldots ,2^{2n}+1,

que son medíbeis ( $A_{n,k}\in \Sigma$ ) porque $f$ suponse que é medíbel.

Daquela, a secuencia crecente de funcións simples

f_{n}=\sum _{k=1}^{2^{2n}+1}{\frac {k-1}{2^{n}}}{\mathbf {1} }_{A_{n,k}}

converxe punto por punto en $f$ cando $n\to \infty$ . Teña en conta que, cando $f$ é limitada, a converxencia é uniforme.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.

Outros artigos

Ligazóns externas

Nota 5. Simple functions