Saltar ao contido

Función por tramos

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Gráfico da función linear por tramos

En matemáticas, unha función por tramos (tamén chamada definición por casos) é unha función cuxo dominio está dividido en varios intervalos ("subdominios") nos que a función pode definirse de forma diferente.[1][2][3] A definición por tramos é en realidade unha forma de especificar a función, máis que unha característica da propia función resultante.

Notación e interpretación

[editar | editar a fonte]
Gráfica da función de valor absoluto,

As funcións por tramos pódense definir usando a notación funcional común, onde o corpo da función son varias liñas de funcións e subdominios asociados. Un punto e coma ou coma pode seguir as columnas da subfunción ou do subdominio.[4] O "" ou "" raramente se omiten ao comezo da columna da dereita.[4]

Os subdominios xuntos deben cubrir todo o dominio.[5] Por exemplo, vexamos a definición por tramos da función valor absoluto:[2]

  • Función linear por tramos, unha función composta por segmentos de liña
  • Lei potencial, unha función composta por subfuncións da lei potencial.
  • Spline, unha función composta por subfuncións polinómicas, que posúe un alto grao de suavidade nos lugares onde se conectan os tramos polinómicos.
  • PDIFF, variedade diferenciábel por tramos.




Continuidade e diferenciabilidade das funcións por tramos

[editar | editar a fonte]
Gráfico dunha función cuadrática por tramos A súa única descontinuidade está en .

Unha función definida por tramos é continua nun intervalo dado no seu dominio se se cumpren as seguintes condicións:

  • as súas subfuncións son continuas nos intervalos correspondentes (subdominios),
  • non hai descontinuidade nun punto final de ningún subdominio dentro dese intervalo.

A función representada, por exemplo, é continua por tramos nos seus subdominios, mais non é continua en todo o dominio, xa que contén unha descontinuidade de salto en . O círculo recheo indica que nesa posición úsase o valor da subfunción dereita.

Para que unha función definida por tramos sexa diferenciábel nun intervalo dado do seu dominio, deben cumprirse as seguintes condicións a maiores das anteriores que se deron para a continuidade:

  • as súas subfuncións son diferenciábeis nos intervalos abertos correspondentes,
  • as derivadas unilaterais existen nos extremos de todos os intervalos,
  • nos puntos onde se tocan dous subintervalos, coinciden as correspondentes derivadas unilateraiss dos dous subintervalos veciños.

Conceptos relacionados

[editar | editar a fonte]

O concepto de funcións definidas por tramos adoita xeneralizarse a curvas, como as curvas lineares por tramos e os splines, que son curvas polinómicas por tramos. O concepto tamén se pode estender a construcións máis abstractas, como as variedades lineares por tramos.

  1. "Piecewise Functions". www.mathsisfun.com. Consultado o 2020-08-24. 
  2. 2,0 2,1 2,2 Weisstein, Eric W. "Piecewise Function". mathworld.wolfram.com. Consultado o 2020-08-24. 
  3. "Piecewise functions". brilliant.org. Consultado o 2020-09-29. 
  4. 4,0 4,1 Weisstein, Eric W. "Piecewise Function". mathworld.wolfram.com. Consultado o 2024-07-20. 
  5. A feasible weaker requirement is that all definitions agree on intersecting subdomains.

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]