Intersección (conxuntos)

En teoría de conxuntos, a intersección de dous conxuntos $A$ e $B,$ denotado como $A\cap B,$ é o conxunto que contén todos os elementos de $A$ que tamén pertencen a $B$ ou viceversa.

Notación e terminoloxía

A intersección escríbese co símbolo "$\cap$" entre os conxuntos, en notación infixa. Por exemplo:$$\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}$$$$\{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing$$$$\mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N}$$$$\{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}$$A intersección de máis de dous conxuntos (intersección xeneralizada) pódese escribir como:$$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$$.

Definición

Intersección de tres conxuntos:
$~A\cap B\cap C$

Exemplo de intersección con conxuntos

A intersección de dous conxuntos $A$ e $B,$ denotado como $A\cap B$, é o conxunto de todos os obxectos que son membros de ambos os dous conxuntos $A$ e $B.$ Con símbolos:$$A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.$$É dicir, $x$ é un elemento da intersección $A\cap B$ se e só se $x$ é tanto un elemento de $A$ e un elemento de $B.$

Por exemplo:

• A intersección dos conxuntos {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é {2, 3}.
• O número 9 non está na intersección do conxunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} e do conxunto de números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, porque 9 non é primo.

Conxuntos intersecantes e disxuntos

Dicimos que $A$ intersecta a $B$ se existe algún $x$ que é un elemento tanto de $A$ como de $B$, nese caso tamén dicimos que $A$ interxecta a $B$. De forma equivalente, $A$ intersecta a $B$ se a súa intersección $A\cap B$ é un conxunto con algún elemento, expresado tamén como que existe algún $x$ tal que $x\in A\cap B.$

Dicimos que $A$ e $B$ son disxuntos se $A$ non se cruza con $B.$ En linguaxe sinxela, non teñen elementos en común. $A$ e $B$ son disxuntos se a súa intersección é baleiro, denotado $A\cap B=\varnothing .$

Por exemplo, os conxuntos $\{1,2\}$ e $\{3,4\}$ son disxuntos, mentres que o conxunto de números pares cruza o conxunto de múltiplos de 3 en múltiplos de 6.

Propiedades alxébricas

A intersección binaria é unha operación asociativa; é dicir, para calquera conxunto $A,B,$ e $C,$ temos$$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.$$Así, as parénteses poden omitirse sen ambigüidade: calquera das anteriores pódese escribir como $A\cap B\cap C$. A intersección tamén é conmutativa. É dicir, para calquera $A$ e $B,$ un ten$$A\cap B=B\cap A.$$A intersección de calquera conxunto co conxunto baleiro dá como resultado o conxunto baleiro; é dicir, que para calquera conxunto $A$,$$A\cap \varnothing =\varnothing$$Ademais, a operación de intersección é idempotente; é dicir, calquera conxunto $A$ satisfai $A\cap A=A$.

A intersección é distributiva en relación á unión e a unión é distributiva en relación á intersección. É dicir, para calquera conxunto $A,B,$ e $C,$ temos$${\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}$$Dentro dun universo $U,$ pódese definir o complemento $A^{c}$ de $A$ como o conxunto de todos os elementos de $U$ que non están en $A.$ Ademais, a intersección de $A$ e $B$ poden escribirse como o complemento da unión dos seus complementos, obtido facilmente das leis de De Morgan:$$A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}$$

Interseccións arbitrarias

Podemos xeneralizar a intersección a unha colección arbitraria de conxuntos non baleiros. Se $M$ é un conxunto non baleiro cuxos elementos son eles mesmos conxuntos, entón $x$ é un elemento da intersection de $M$ se e só se para cada elemento $A$ de $M,$ $x$ é un elemento de $A.$ Con símbolos:$$\left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).$$Tamén pódese escribir como: $\bigcap M$, ou ${\bigcap }_{A\in M}A$, ou $\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i},$ e a maiores tamén ${\bigcap }_{i\in I}A_{i}$ = $\left\{A_{i}:i\in I\right\}$ onde $I$ é un conxunto non baleiro, e $A_{i}$ é un conxunto para todos $i\in I$, tamén pódese escribir como "$A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots$ ".

Véxase tamén

Bibliografía

• Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (Second ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4. 
• Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (Second ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
• Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (Sixth ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0. 

Outros artigos

• Unión
• Complementario
• Álxebra de conxuntos

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.