Constante (matemáticas)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Constante (homónimos).

En matemáticas, o adxectivo constante significa que non varía. O substantivo constante pode ter dous significados diferentes. Pode referirse a un número fixo e ben definido ou a outro obxecto matemático. O vocábulo constante matemática (e tamén constante física) emprégase ás veces para distinguir este significado do outro. Constante tamén pode referirse a unha función constante ou ao seu valor (é un uso común para identificalos). Tal constante adoita representarse por unha variable que non depende da variable ou variables principais do problema estudado. Isto é o caso, por exemplo, dunha constante de integración que é unha función constante arbitraria (que non depende da variábel de integración) engadida a unha función para conseguir todas as primitivas da función dada.

Por exemplo, a función cuadrática xeral adoita escribirse:

ax^{2}+bx+c\,,

onde a, b e c son constantes (ou parámetros), mentres x é a variable. Un xeito máis explícito para denotar esta función é

x\mapsto ax^{2}+bx+c\,,

que aclara que a función ten argumento x, e así vese implicitamente que a, b e c son constantes. Neste exemplo a, b e c son coeficientes do polinomio. Como c ocorre nun termo que non contén x, chámase termo independente do polinomio e pode ser considerado como o coeficiente de x⁰; calquera termo dun polinomio ou expresión de grao cero é unha constante.^[1]

Función constante

Unha constante pode empregarse para definir unha función constante que sempre dá o mesmo valor. Unha función constante dunha variábel, como $f(x)=5$ , ten unha gráfica que é unha liña recta horizontal, paralela ao eixo X. Esa función sempre toma o mesmo valor (neste caso, 5) porque o seu argumento non aparece na expresión que define a función.

Contexto-dependencia

A natureza dependente do contexto do concepto de "constante" pode ser visto neste exemplo de cálculo elemental:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{xa que }}x{\text{ é constante (é dicir, non depende de }}h{\text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {constant,} &&{\text{onde }}\mathbf {constante} {\text{ significa que non depende de }}x.\end{aligned}}

"Constante" significa que non depende de ningunha variable e que non se modifica co cambio na variable. No primeiro caso anterior non depende de h; no segundo, significa que non depende de x.

Constantes matemáticas destacadas

Algúns valores aparecen frecuentemente en matemáticas e denótanse por convenio por un símbolo específico. Estes símbolos estándares e os seus valores chámanse constantes matemáticas, e inclúen

0 (cero).
1 (un), o número natural após cero.
π (pi), o constante representando a razón entre a lonxitude dunha circunferencia e o seu diámetro, aproximadamente igual a 3,141592653589793238462643...^[2]
e, aproximadamente igual a 2,718281828459045235360287...
i, a unidade imaxinaria tal aquel i² = −1.
${\sqrt {2}}$ (raíz cadrada de 2), lonxitude da diagonal dun cadrado con lados unidade, aproximadamente igual a 1,414213562373095048801688.
φ (número áureo), aproximadamente igual a 1,618033988749894848204586, ou alxebricamente $1+{\sqrt {5}} \over 2$ .

Constantes no cálculo

No cálculo, as constantes trátanse de varios xeitos diferentes que dependen da operación. Por exemplo, a derivada dunha función constante é cero. Isto é porque a derivada mide o índice de cambio dunha función con respecto a unha variable, e como as constantes, por definición, non mudan, a súa derivada é polo tanto cero. Inversamente, cando se integra unha función constante, a constante multiplícase pola variable de integración. Durante a avaliación dun límite, as constantes permanecen como eran antes e despois de avaliación.

Integrar unha función dunha variable a miúdo implica unha constante de integración. Isto xorde debido á natureza do operador integral como o inverso do operador diferencial, indicando que a finalidade da integración é recuperar a función orixinal antes da diferenciación. O diferencial dunha función constante é cero, como se sinalou antes, e o operador diferencial é un operador linear, polo que as funcións que só difiren nun termo constante teñen a mesma derivada. Para expresalo, engádese unha constante da integración a unha integral indefinida; isto asegura que se inclúen todas as solucións posibles.