Constante de Catalan

En matemáticas, a constante de Catalan G, tamén denominada coa letra K, defínese por

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots ,$

onde β é a función beta de Dirichlet. O seu valor numérico é aproximadamente (secuencia A006752 na OEIS)

G = 0.915965594177219015054603514932384110774… 

Problemas sen solucionar en matemáticas:

É irracional a constante de Catalan? É transcendental?

(máis problemas sen solucionar en matemáticas)

Non está demostrado que G é irracional, e moito menos transcendental. De G díxose "sen dúbida a constante máis básica cuxa irracionalidade e transcendencia (aínda que se sospeita fortemente) seguen sen probarse". A constante de Catalan recibiu o nome de Eugène Charles Catalan, quen atopou series de rápida converxencia para o seu cálculo e publicou unha memoria sobre ela en 1865.

Usos

En combinatoria e mecánica estatística, xorde en relación coa contaxe de mosaicos de dominó, árbore de extensión, e ciclos hamiltonianos de grafos de retícula.

En teoría de números, a constante de Catalan aparece nunha fórmula conxecturada para o número asintótico de primos da forma $n^{2}+1$ segundo a conxectura F de Hardy e Littlewood. Porén, é un problema sen resolver (un dos problemas de Landau) se hai incluso infinitos números primos desta forma.

Identidades en forma de integral

A constante de Catalan permite resolver moitas integrais con logaritmos. A maiores móstrase unha lista de integrais con valor $G$:$${\begin{aligned}G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \left(\sec t+\tan t\right)\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {arctan} t}{t{\sqrt {1+t^{2}}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arctanh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {arccot} e^{t}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{4}}\int _{0}^{{\pi ^{2}}/{4}}\csc {\sqrt {t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{16}}\left(\pi ^{2}+4\int _{1}^{\infty }\operatorname {arccsc} ^{2}t\,dt\right)\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\left(t^{4}-6t^{2}+1\right)\ln \ln t}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}}\,dt\\[3pt]G&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \ln \tan x\ln \tan x\,dx\\[3pt]G&=\iint _{[0,1]^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}\,dy\,dx\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\arcsin \left(\sin t\right)}{t}}\,dt\\[3pt]G&=1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha }\!{\frac {\left(1+6t^{2}+t^{4}\right)\arctan {t}}{t\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt+2\operatorname {artanh} {\alpha }-{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!{\frac {x\sin \left(2xy/\pi \right)}{\,\left(x^{2}+\pi ^{2}\right)\cosh x\sinh y\,}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt[{4}]{x}}\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}-1\right)}{(x+1)^{2}{\sqrt[{4}]{y}}(y+1)^{2}\log(xy)}}dxdy\end{aligned}}$$Se K(k) é a integral elíptica completa do primeiro tipo, en función do módulo elíptico k, daquela$$G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,dk$$Se E(k) é a integral elíptica completa do segundo tipo, en función do módulo elíptico k, daquela$$G=-{\tfrac {1}{2}}+\int _{0}^{1}\mathrm {E} (k)\,dk$$Coa función gamma Γ(x + 1) = x!$${\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy\end{aligned}}$$A integral$$G=\operatorname {Ti} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt$$é unha función especial coñecida, chamada integral tanxente inversa, e foi estudada amplamente por Srinivasa Ramanujan .

Relación con outras funcións especiais

G aparece en valores da segunda función poligamma, tamén chamada función trigamma, con argumentos con fraccións:$${\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8G.\end{aligned}}$$A constante de Catalan ocorre con frecuencia en relación coa función de Clausen, a integral tanxente inversa, a integral do seno inverso, a función G de Barnes, así como as integrais e series sumables en función das funcións mencionadas anteriormente.

Se se define o trascendente de Lerch Φ(z,s,α) (relacionado coa función zeta de Lerch) por$$\Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}},$$daquela$$G={\tfrac {1}{4}}\Phi \left(-1,2,{\tfrac {1}{2}}\right).$$

Series de converxencia rápida

As dúas fórmulas seguintes implican series de converxencia rápida e, polo tanto, son apropiadas para o cálculo numérico:$${\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-\\&\qquad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}$$e$$G={\frac {\pi }{8}}\log \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}.$$Os fundamentos teóricos destas series son dados por Broadhurst, para a primeira fórmula, e Ramanujan, para a segunda fórmula. Os algoritmos para a avaliación rápida da constante de Catalan foron construídos por E. Karatsuba. Usando estas series, calcular a constante de Catalan é case tan rápido como calcular a constante de Apery $\zeta (3)$.

Fracción continua

G pode expresarse do seguinte xeito

$G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{4}}{8+{\cfrac {3^{4}}{16+{\cfrac {5^{4}}{24+{\cfrac {7^{4}}{32+{\cfrac {9^{4}}{40+\ddots }}}}}}}}}}}}$

A fracción continua simple vén dada por

$G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{88+\ddots }}}}}}}}}}}}$

Esta fracción continua tería infinitos termos se e só se $G$ é irracional, que aínda está sen resolver.

Véxase tamén

Bibliografía

• Adamchik, Victor (2002). A certain series associated with Catalan's constant. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen 21. pp. 1–10. MR 1929434. doi:10.4171/ZAA/1110. Arquivado dende o orixinal o 16 de marzo de 2010. Consultado o 20 de xuño de 2024. 
• Fee, Gregory J. (1990). "Computation of Catalan's Constant Using Ramanujan's Formula". En Watanabe, Shunro; Nagata, Morio. Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC '90, Tokyo, Japan, August 20-24, 1990. ACM. pp. 157–160. ISBN 0201548925. doi:10.1145/96877.96917. 
• Bradley, David M. (1999). A class of series acceleration formulae for Catalan's constant. The Ramanujan Journal 3. pp. 159–173. MR 1703281. arXiv:0706.0356. doi:10.1023/A:1006945407723. 
• Bradley, David M. (2007). A class of series acceleration formulae for Catalan's constant. The Ramanujan Journal 3. pp. 159–173. Bibcode:2007arXiv0706.0356B. arXiv:0706.0356. doi:10.1023/A:1006945407723. 

Outros artigos

• Lista de constantes matemáticas
• Valores particular da función zeta de Riemann zeta

Ligazóns externas

• Plouffe, Simon (1993). "A few identities (III) with Catalan". Arquivado dende o orixinal o 2019-06-26. Consultado o 29 July 2005.  (Dá máis de 100 identidades diferentes).
• Weisstein, Eric W. "Catalan's Constant". MathWorld. 

• "Catalan constant". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].