Continuidade uniforme

Dados dous espazos métricos $(X,d_{X})$ e $(Y,d_{Y})$, e $M\subseteq X$ entón unha función $f:M\to Y$ dise uniformemente continua en M se para calquera número real $\epsilon >0$ existe $\delta _{\epsilon }>0$ tal que para todo $x_{1},x_{2}\in M$ con $d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta$, tense que $d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon$.

No espazo euclidiano $\mathbb {R}$, unha función $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ é uniformemente continua nun intervalo $\ A$ se para calquera $\epsilon >0$ existe algún $\delta _{\epsilon }>0$ tal que para todo $x,y\in A$ se cumpre que se $|x-y|<\delta$, entón $|f(x)-f(y)|<\epsilon$

Unha función uniformemente continua difire dunha función continua na dependencia de $\delta$, pois no primeiro caso só depende de $\epsilon$, mentres que no segundo tamén depende do punto considerado. De aí a denominación de "uniforme".

Exemplos

• A función 1/x con x>0 é continua pero non é uniformemente continua
• A función x é uniformemente continua en calquera intervalo compacto (i.e. pechado e limitado).