Contraposición

En lóxica e matemáticas, a contraposición refírese á inferencia de pasar dun enunciado condicional ao seu contrapositivo loxicamente equivalente, máis un método de demostración asociado coñecido como proba por contrapositiva. Na contrapositiva dun enunciado, o antecedente e o consecuente son invertidos e negados: a contrapositiva de $P\rightarrow Q$ é, por tanto, $\neg Q\rightarrow \neg P$ . Por exemplo, a proposición "Todos os morcegos son mamíferos" pode ser reescrita na súa forma condicional "Se algo é morcego, entón é mamífero". No final, temos que a proposición pode avaliarse mediante a súa contrapositiva "Se algo non é mamífero, entón non é morcego."

A contrapositiva pode ser comparada con outras tres relacións entre enunciados condicionais:

Inversión (a inversa): $\neg P\rightarrow \neg Q$ .

"Se algo non é morcego, entón nón é mamífero." Diferentemente da contrapositiva, o valor-verdade da inversa non depende de todo do valor-verdade do enunciado orixinal. A inversa, aqui, claramente non é verdadeira.

Reciprocidade (a recíproca): $Q\rightarrow P$ .

"Se algo é mamífero, então é morcego." A recíproca é, na verdade, a contrapositiva da inversa, logo, sempre posúe o mesmo valor-verdade da inversa, logo, non é necesariamente o mesmo que o enunciado orixinal.

Negación: $\neg (P\rightarrow Q)$ .

"Existe un morcego que non é mamífero." Se a negação é verdadeira, a proposição orixinal (e, consecuentemente, a contrapositiva) é falsa. No exemplo mostrado, a negación é claramente falsa.

Note que se $P\rightarrow Q$ é verdadeiro e somos informados de que Q é falsa, $\neg Q$ , pode ser loxicamente inferido que P debe ser falsa, $\neg P$ . Iso é, normalmente, chamado principio da contrapositiva, ou regra de inferencia modus tollens.

Explicación intuitiva

No diagrama de Euler que se mostra, se algo está en A, tamén debe estar en B. Polo tanto, podemos interpretar "todo A está en B" como:

A\to B

Tamén está claro que calquera cousa que non estea dentro de B (a rexión azul) tampouco non pode estar dentro de A. Esta afirmación, que se pode expresar como:

\neg B\to \neg A

é a contrapositiva da afirmación anterior. Polo tanto, pódese dicir que

(A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A).

Na práctica, esta equivalencia pódese utilizar para facilitar a proba dunha afirmación.

Probas

Proba simple por definición de condicional

Na lóxica de primeira orde, o condicional defínese como:

A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B

que se pode facer equivalente ao seu contrapositivo, como segue:

{\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}

Proba simple por contradición

Sexa:

(A\to B)\land \neg B

Dáse que, se A é verdade, entón B é verdade, e tamén se dá que B non é verdade. Podemos logo demostrar por contradición que A non debe ser verdadeira. Pois se A fose verdadeira, entón B tería que ser tamén verdadeira (por Modus Ponens). Porén, dáse que B non é verdade, polo que temos unha contradición. Polo tanto, A non é verdadeira (supoñendo que estamos ante afirmacións bivalentes que son verdadeiras ou falsas):

(A\to B)\to (\neg B\to \neg A)

Podemos aplicar o mesmo proceso ao revés, comezando cos supostos de que:

(\neg B\to \neg A)\land A

Aquí, tamén sabemos que B é verdadeira ou non. Se B non é verdade, entón A tampouco é verdade. Non obstante, dáse que A é verdade, polo que a suposición de que B non é verdade leva a unha contradición, o que significa que non é o caso de que B non sexa verdade. Polo tanto, B debe ser verdadeira:

(\neg B\to \neg A)\to (A\to B)

Combinando os dous enunciados probados xuntos, obtemos a buscada equivalencia lóxica entre unha condición e a súa contrapositiva:

(A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)

Comparacións

nome	forma	descrición
implicación	se P entón Q	a primeira afirmación implica verdade da segunda
inversa	se non P non Q	negación de ambas as afirmacións
recíproca	se Q entón P	trocar a orde das afirmacións
contrapositiva	se non Q entón non P	recíproca e negación de ambos os enunciados
negación	P e non Q	contradí a implicación

Exemplo

Considere a afirmación "Todo obxecto vermello ten cor.'' Pode expresarse, de forma equivalente, como "Se un obxecto é vermello, daquela ese obxecto ten cor."

* A contrapositiva é "Se un obxecto non ten cor, entón ese obxecto non é vermello". Iso segue loxicamente de nosa afirmación inicial e, así como a orixinal, é, evidentemente, verdadeira.

* A inversa é "Se um objeto non é vermello, entón non ten cor.'' Novamente, un obxecto que é azul non é vermello, e aínda así ten cor. Logo, nese caso, a inversión torna a afirmación falsa.

* A recíproca é "Se un obxecto ten cor, entón é vermello.'' Os obxectos poden ter outras cores, obviamente, logo, a recíproca de nosa afirmación é falsa.

* A negación é "Existe algún obxecto vermello que non ten propiedade de cor''. Se iso fose verdade, entón tanto a recíproca como a inversa deberían ser verdadeiras só exactamente nese caso no que o vermello non sexa unha cor. Mais o vermello é unha cor e por tanto esa afirmación é falsa.

Noutras palabras, a contrapositiva é loxicamente equivalente a un dato condicional, aínda que non sexa válida para bicondicionais ("Se e somente se").

Veracidade

Se unha afirmación é verdadeira, entón a súa contrapositiva é verdade (e viceversa).
Se unha afirmación é falsa, entón a súacontrapositiva é falsa (e viceversa).
Se a inversa dunha afirmación é verdadeira, entón a súa inversa é verdadeira (e viceversa).
Se a inversa dunha afirmación é falsa, entón a súa inversa é falsa (e viceversa).
Se a negación dunha afirmación é falsa, entón a afirmación é verdadeira (e viceversa).
Se unha afirmación (ou a súa contrapositiva) e a inversa (ou a inversa) son verdadeiras ou falsas, entón coñécese como bicondicional lóxico.

Proba por contrapositiva

Dado que a contrapositiva dun enunciado sempre ten o mesmo valor de verdade (verdade ou falsidade) que o propio enunciado, pode ser unha poderosa ferramenta para demostrar teoremas matemáticos (especialmente se a verdade da contrapositiva é máis fácil de establecer que a verdade do enunciado en si). Unha proba por contrapositiva é unha proba directa da contrapositiva dunha afirmación.^[1] Porén, métodos indirectos como a proba por contradición tamén se poden usar con contraposición, como, por exemplo, na demostración da irracionalidade da raíz cadrada de 2. Pola definición dun número racional, pódese afirmar que "Se ${\sqrt {2}}$ é racional, entón pódese expresar como unha fracción irredutible". Esta afirmación é certa porque é unha reformulación dunha definición. O contrapositivo desta afirmación é "Se ${\sqrt {2}}$ non se pode expresar como unha fracción irredutible, entón non é racional". Esta contrapositiva, como a afirmación orixinal, tamén é certa. Polo tanto, se se pode demostrar que ${\sqrt {2}}$ non se pode expresar como unha fracción irredutible, logo debe ser o caso de que ${\sqrt {2}}$ non é un número racional. Isto último pódese probar por contradición.

p	q	$\lnot$ p	$\lnot$ q	p → q	$\lnot$ q → $\lnot$ p
T	T	F	F	T	T
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

Notas

↑ Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2001). A Transition to Advanced Mathematics (5th ed.). Brooks/Cole. p. 37. ISBN 0-534-38214-2.

Véxase tamén

Outros artigos

[1] Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2001). A Transition to Advanced Mathematics (5th ed.). Brooks/Cole. p. 37. ISBN 0-534-38214-2.

[1]