Desigualdades QM-AM-GM-HM

En matemáticas, as desigualdades QM-AM-GM-HM, tamén coñecidas como cadea de desigualdades medias, establecen a relación entre a media harmónica (HM), a media xeométrica (GM), a media aritmética (AM) e a media cadrática (QM) (tamén coñecida como raíz cadrada media). Supoñamos que $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ son números reais positivos. Daquela

$0<{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}.$</math>

Estas desigualdades aparecen a miúdo en concursos de matemáticas e teñen aplicacións en moitos campos da ciencia.

Proba

Hai tres desigualdades entre medias para demostrar. Existen varios métodos para demostrar as desigualdades, incluíndo a indución matemática, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, os multiplicadores de Lagrange e a desigualdade de Jensen. Para outras probas de que GM ≤ AM, consulte o artigo sobre a desigualdade AM-GM (desigualdade da media aritmética e a media xeométrica).

Desigualdade AM-QM

A partir da desigualdade de Cauchy-Schwarz en números reais, establecendo un vector cos valores (1, 1, ...), temos :

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot 1\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}1^{2}\right)=n\,\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2},$ polo tanto $\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)^{2}\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n}}$. Para os $x_{i}$ positivos a raíz cadrada deste dá a desigualdade.

Desigualdade HM-GM

O recíproco da media harmónica é a media aritmética dos recíprocos $1/x_{1},\dots ,1/x_{n}$, e supera $1/{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}$ pola desigualdade AM-GM. $x_{i}>0$ implica a desigualdade:

${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}.$

O caso n=2

O semicírculo usado para visualizar as desigualdades

${\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}\leq {\sqrt {x_{1}x_{2}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}}}$ para todos os $x_{1},x_{2}>0,$

que se pode visualizar nun semicírculo cuxo diámetro é [AB] e centro D.

Supoña AC=x₁ e BC=x₂. Constrúa perpendiculares a [AB] en D e C respectivamente. Una [CE] e [DF] e constrúa ademais unha perpendicular [CG] a [DF] en G. Daquela, a lonxitude de GF pódese calcular como a media harmónica, CF como a media xeométrica, DE como a media aritmética e CE como a media cadrática. As desigualdades danse logo facilmente do teorema de Pitágoras.

Comparación de valores medios harmónicos, xeométricos, aritméticos, cadráticos e outros valores medios de dous números reais positivos $x_{1}$ e $x_{2}$

Exemplo

Para inferir a orde correcta, as catro expresións pódense avaliar con dous números positivos.

Para $x_{1}=10$ e $x_{2}=40$ en particular, isto resulta en $16<20<25<5{\sqrt {34}}$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Media xeneralizada.
• Desigualdade AM-GM.

Ligazóns externas

• The HM-GM-AM-QM Inequalities Arquivado 14 de agosto de 2022 en Wayback Machine.
• Useful inequalities cheat sheet meter "means" no lado dereito da páxina 1