Desigualdades QM-AM-GM-HM

En matemáticas, as desigualdades QM-AM-GM-HM, tamén coñecidas como cadea de desigualdades medias, establecen a relación entre a media harmónica (HM), a media xeométrica (GM), a media aritmética (AM) e a media cadrática (QM) (tamén coñecida como raíz cadrada media). Supoñamos que $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ son números reais positivos. Daquela

0<{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}.

</math>^[1]

Estas desigualdades aparecen a miúdo en concursos de matemáticas e teñen aplicacións en moitos campos da ciencia.

Proba[editar | editar a fonte]

Hai tres desigualdades entre medias para demostrar. Existen varios métodos para demostrar as desigualdades, incluíndo a indución matemática, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, os multiplicadores de Lagrange e a desigualdade de Jensen. Para outras probas de que GM ≤ AM, consulte o artigo sobre a desigualdade AM-GM (desigualdade da media aritmética e a media xeométrica).

Desigualdade AM-QM[editar | editar a fonte]

A partir da desigualdade de Cauchy-Schwarz en números reais, establecendo un vector cos valores $(1, 1, ...)$ , temos :

\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot 1\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}1^{2}\right)=n\,\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2},

polo tanto

\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)^{2}\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n}}

. Para os

x_{i}

positivos a raíz cadrada deste dá a desigualdade.

Desigualdade HM-GM[editar | editar a fonte]

O recíproco da media harmónica é a media aritmética dos recíprocos $1/x_{1},\dots ,1/x_{n}$ , e supera $1/{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}$ pola desigualdade AM-GM. $x_{i}>0$ implica a desigualdade:

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}.

^[2]

O caso n=2[editar | editar a fonte]

{\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}\leq {\sqrt {x_{1}x_{2}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}}}

para todos os

x_{1},x_{2}>0,

^[2]

que se pode visualizar nun semicírculo cuxo diámetro é [AB] e centro D.

Supoña AC=x₁ e BC=x₂. Constrúa perpendiculares a [AB] en D e C respectivamente. Una [CE] e [DF] e constrúa ademais unha perpendicular [CG] a [DF] en G. Daquela, a lonxitude de GF pódese calcular como a media harmónica, CF como a media xeométrica, DE como a media aritmética e CE como a media cadrática. As desigualdades danse logo facilmente do teorema de Pitágoras.

Exemplo[editar | editar a fonte]

Para inferir a orde correcta, as catro expresións pódense avaliar con dous números positivos.

Para $x_{1}=10$ e $x_{2}=40$ en particular, isto resulta en $16<20<25<5{\sqrt {34}}$ .

Notas[editar | editar a fonte]

↑ Djukić, Dušan (2011). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2009. Problem books in mathematics. International mathematical olympiad. New York: Springer. p. 7. ISBN 978-1-4419-9854-5.
↑ ^2,0 ^2,1 Sedrakyan, Hayk; Sedrakyan, Nairi (2018). Sedrakyan, Hayk; Sedrakyan, Nairi, eds. The HM-GM-AM-QM Inequalities. Algebraic Inequalities. Problem Books in Mathematics (Cham: Springer International Publishing). p. 23. ISBN 978-3-319-77836-5. doi:10.1007/978-3-319-77836-5_3. Consultado o 2023-11-26.