Dimensión dun espazo vectorial

Un diagrama das dimensións 1, 2, 3 e 4

En matemáticas, a dimensión dun espazo vectorial V é a cardinalidade (é dicir, o número de vectores) dunha base de V sobre o seu corpo base. Ás veces chámase dimensión de Hamel ou dimensión alxébrica para distinguilo doutros tipos de dimensión.

Para todo espazo vectorial existe unha base, e todas as bases dun espazo vectorial teñen a mesma cardinalidade; como resultado, a dimensión dun espazo vectorial defínese de forma única. dicimos $V$ é de dimensión finita se a dimensión de $V$ é finita e de dimensión infinita se a súa dimensión é infinita.

A dimensión do espazo vectorial $V$ sobre o corpo $F$ pódese escribir como $\dim _{F}(V)$ ou como $[V:F],$ lendo "dimensión de $V$sobre $F$". Cando $F$ pódese inferir do contexto adoita escribirse $\dim(V)$.

Exemplos

O espazo vectorial $\mathbb {R} ^{3}$ ten como base estándar

$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}$,

e polo tanto $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.$ De forma máis xeral, $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,$ e aínda máis en xeral, $\dim _{F}(F^{n})=n$ para calquera corpo $F.$

Os números complexos $\mathbb {C}$ son un espazo vectorial real e complexo; temos $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ e $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.$ Podemos ver os complexos como un vector de dous números reais. Polo tanto, a dimensión depende do corpo base.

Propiedades

Se $W$ é un subespazo linear de $V$ entón $\dim(W)\leq \dim(V).$

O espazo $\mathbb {R} ^{n}$ ten a base estándar $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},$ onde $e_{i}$ é a $i$-ésima columna da matriz de identidade correspondente . Polo tanto, $\mathbb {R} ^{n}$ ten dimensión $n.$

Calquera espazos vectoriais de dúas dimensións finitas sobre $F$ coa mesma dimensión son isomorfos. Calquera mapa bixectivo entre as súas bases pódese estender de forma única a un mapa linear bixectivo entre os espazos vectoriais. Se $B$ é algún conxunto, un espazo vectorial con dimensión $|B|$ sobre $F$ pódese construír do seguinte xeito: tomamos o conxunto $F(B)$ de todas as funcións $f:B\to F$ tal que $f(b)=0$ para todos menos finitamente moitos $b$ en $B.$ Estas funcións pódense sumar e multiplicar con elementos de $F$ para obter o desexado espazo vectorial $F$l.

Un resultado importante sobre as dimensións vén dado polo teorema de rango-nulidade para mapas lineares.

Se $F/K$ é unha extensión de corpo, entón $F$ é en particular un espazo vectorial sobre $K.$ Ademais, todo $F$-espazo vectorial $V$ tamén é un $K$-espazo vectorial. As dimensións están relacionadas coa fórmula $$\dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).$$En particular, todo espazo vectorial complexo de dimensión $n$ é un espazo vectorial real de dimensión $2n.$

Algunhas fórmulas relacionan a dimensión dun espazo vectorial coa cardinalidade do corpo base e a cardinalidade do propio espazo. Se $V$ é un espazo vectorial sobre un corpo $F$ e se a dimensión de $V$ denotase por $\dim V,$ entón:

Se dim $V$ é finito entón $|V|=|F|^{\dim V}.$

Se dim $V$ é infinito entón $|V|=\max(|F|,\dim V).$

Véxase tamén

Bibliografía

• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. .

Outros artigos

• Dimensión de Krull.
• Matriz (matemáticas).

Ligazóns externas

• Conferencia de álxebra linear do MIT sobre a independencia, a base e a dimensión de Gilbert Strang no MIT OpenCourseWare