Función parcial

En matemáticas, unha función parcial $f$ dun conxunto $X$ a un conxunto $Y$ é unha función dun subconxunto $S$ de $X$ a $Y$ . O subconxunto $S$ , é dicir, o dominio de $f$ visto como función, chámase dominio de definición ou dominio natural de $f$ . Se $S$ é igual $X$ , é dicir, se $f$ se define en todos os elementos de $X$ , entón dise que $f$ é unha función total.

Noutras palabras, $f$ é unha relación tal que a restrición de $f$ ao seu domínio é unha función.

A miúdo úsase unha función parcial cando non se coñece o seu dominio exacto de definición ou é difícil de especificar. Non obstante, mesmo cando se coñece o dominio exacto da definición, as funcións parciais adoitan usarse por sinxeleza ou brevidade. Este é o caso do cálculo, onde, por exemplo, o cociente de dúas funcións é unha función parcial cuxo dominio de definición non pode conter os ceros do denominador; neste contexto, unha función parcial é xeralmente chamada simplemente función .

Cando se usa a notación de frecha para funcións, unha función parcial $f$ dende $X$ a $Y$ ás veces escríbese como $f:X\rightharpoonup Y,$ $f:X\nrightarrow Y$ .

En concreto, para unha función parcial $f:X\rightharpoonup Y,$ e calquera $x\in X,$ temos:

$f(x)=y\in Y$ (é un único elemento en $Y$ ), ou
$f(x)$ está indefinido.

Por exemplo, se $f$ é a función raíz cadrada restrinxida aos números enteiros

f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} ,

definido por:

f(n)=m

se, e só se,

m^{2}=n,

m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {Z} ,

logo $f(n)$ só se define se $n$ é un cadrado perfecto (é dicir, $0,1,4,9,16,\ldots$ ). Entón $f(25)=5$ mais $f(26)$ está indefinido.

Conceptos básicos

Moitas propiedades das funcións pódense ampliar nun sentido apropiado para as funcións parciais. Dise que unha función parcial é inxectiva, sobrexectiva ou bixectiva cando a función dada pola restrición da función parcial ao seu dominio de definición é inxectiva, sobrexectiva e bixectiva, respectivamente.

Como unha función é trivialmente sobrexectiva cando está restrinxida á súa imaxe, o termo bixección parcial denota unha función parcial que é inxectiva.^[1]

Discusión e exemplos

Logaritmo natural

Considere a función do logaritmo natural que mapea os números reais en si mesmos. O logaritmo dun real non positivo non é un número real, polo que a función do logaritmo natural non asocia ningún número real do codominio con ningún número real non positivo do dominio. Polo tanto, a función de logaritmo natural non é unha función cando se ve como unha función dos reais en si mesmos, senón que é unha función parcial. Se o dominio está restrinxido para incluír só os reais positivos (é dicir, se a función do logaritmo natural é vista como unha función dos reais positivos aos reais), entón o logaritmo natural é unha función.

Na teoría de categorías

Na teoría de categorías, ao considerar a operación de composición de morfismos en categorías concretas, a operación de composición $\circ \;:\;\hom(C)\times \hom(C)\to \hom(C)$ é unha función total se e só se $\operatorname {ob} (C)$ ten un elemento. A razón disto é que dous morfismos $f:X\to Y$ e $g:U\to V$ só poden ser compostos como $g\circ f$ se $Y=U,$ é dicir, o codominio de $f$ debe ser igual ao dominio de $g.$

A categoría de conxuntos e funcións parciais é equivalente pero non isomorfa coa categoría de conxuntos apuntados e mapas de conservación de puntos.^[2] Un libro de texto sinala que "Esta realización formal de conxuntos e mapas parciais engadindo elementos "impropios" e "infinitos" reinventouse moitas veces, en particular, na topoloxía (compactación dun punto).

Na álxebra abstracta

A álxebra parcial xeneraliza a noción de álxebra universal ás operacións parciais. Un exemplo sería un corpo, no que a inversión multiplicativa é a única operación parcial adecuada (porque a división por cero non está definida).^[3]

Cartas e atlas para variedades e fibrados

As cartas dos atlas que especifican a estrutura das variedades e dos fibrados son funcións parciais. No caso das variedades, o dominio é o conxunto de puntos da variedade. No caso dos fibrados, o dominio é o espazo do fibrado. Nestas aplicacións, a construción máis importante é o mapa de transición, que é a composición dunha carta coa inversa doutra. A clasificación inicial de variedades e fibrados exprésase en gran medida en termos de restricións nestes mapas de transición.

O motivo do uso de funcións parciais en lugar de funcións é permitir que se representen topoloxías globais xerais unindo parches locais para describir a estrutura global. Os "parches" son os dominios onde se definen as cartas.

Notas

↑ Christopher Hollings (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. p. 251. ISBN 978-1-4704-1493-1.
↑ Lutz Schröder (2001). "Categories: a free tour". En Jürgen Koslowski and Austin Melton. Categorical Perspectives. Springer Science & Business Media. p. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.
↑ Peter Burmeister (1993). "Partial algebras – an introductory survey". En Ivo G. Rosenberg; Gert Sabidussi. Algebras and Orders. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-2143-9.

Véxase tamén

Bibliografía

Martin Davis (1958), Computability and Unsolvability, McGraw–Hill Book Company, Inc, New York. Republished by Dover in 1982. ISBN 0-486-61471-9.
Stephen Kleene (1952), Introduction to Meta-Mathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Netherlands, 10th printing with corrections added on 7th printing (1974). ISBN 0-7204-2103-9.
Harold S. Stone (1972), Introduction to Computer Organization and Data Structures, McGraw–Hill Book Company, New York.

Outros artigos

[Hollings2014-251-1] Christopher Hollings (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. p. 251. ISBN 978-1-4704-1493-1.

[KoslowskiMelton2001-2] Lutz Schröder (2001). "Categories: a free tour". En Jürgen Koslowski and Austin Melton. Categorical Perspectives. Springer Science & Business Media. p. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.

[RosenbergSabidussi1993-3] Peter Burmeister (1993). "Partial algebras – an introductory survey". En Ivo G. Rosenberg; Gert Sabidussi. Algebras and Orders. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-2143-9.

[1]

[2]

[3]