Infinitesimal

Nas matemáticas, un infinitesimal é un número maior que cero en valor absoluto mais menor que calquera número real positivo. Un número x ≠ 0 é un infinitesimal se toda suma |x| + ... + |x| cunha cantidade finita de termos é menor que 1, independente da cantidade de termos. Neste caso, 1/x é maior que calquera número real positivo.

Un infinitesimal é apenas unha cantidade notacional - non hai ningún número real que sexa un infinitesimal. Isto pode demostrarse recorrendo ao axioma do menor maiorante no contexto dos números reais: considerar se o menor maiorante c do conxunto de todos os infinitesimais é ou non un infinitesimal. Se for, entón 2c tamén é, contradicindo así o feito de que c é un maiorante do referido conxunto. Se non for, entón c/2 tamén non é, contradicindo o feito de que c é o menor dos maiorantes.

Definición

Un infinitesimal ou infinitésimo é unha cantidade infinitamente pequena. Pódese definir matematicamente como:

$\lim _{x\to a}f(x)=0$ dise que f é un infinitésimo en x=a

Algunhas funcións son infinitésimos en determinados puntos, por exemplo:

f(x) = x-1 é un infinitésimo en x=1

g(x) = sen(x) é un infinitésimo en

0+k\pi

con

k\in \mathbb {Z}

Propedades dos infinitésimos

A suma de dous infinitésimos é un infinitésimo.
O produto de dous infinitésimos é un infinitésimo.
O produto dun infinitésimo por unha función acoutada é un infinitésimo.
O produto dunha constante por un infinitésimo é un infinitésimo.

Comparación de infinitésimos

Dadas $\lim _{x\to a}f(x)=0$ e $\lim _{x\to a}g(x)=0$

Se $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\infty$ f e g son infinitésimos comparábeis en x=a e f é un infinitésimo de orde inferior a g en x=a
Se $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=l$ con l pertencente a $\mathbb {R}$ f e g son infinitésimos comparábeis en x=a

Se

\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=l

con l pertencente a

\mathbb {R} -\left\{0\right\}

f e g son infinitésimos da mesma orde en x=a

En particular, se $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$ f é un infinitésimo equivalente en x=a

Uso ao longo da historia

O primeiro matemático en usar infinitesimais foi Arquimedes.

Máis tarde, Newton e Leibniz desenvolveron o cálculo facendo uso de infinitesimais. Velaquí un argumento típico:

Achando a derivada f '(x) da función f(x) = x², sexa dx un infinitesimal. Logo, f '(x) = (f(x+dx)-f(x))/dx = (x²+2x*dx+dx²-x²)/dx = 2x+dx = 2x, pois dx é infinitamente pequeno.

Este argumento, aínda que sexa intuitivamente atraente, e produza o resultado correcto, non é matematicamente rigoroso. Atacouse uso de infinitesimais, como incorrecto, por George Berkeley na súa obra The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician. O problema fundamental reside no feito de que dx é, primeiro, tratado como non-cero (pois é utilizado como divisor), mais descártase despois como se fose cero.

Foi na segunda metade do século XIX cando obtivo o cálculo infinitesimal unha fundamentación matemática formal, grazas a Karl Weierstrass e outros, utilizando a noción de límite, que eliminou a necesidade do uso de infinitesimais.

O uso de infinitesimais continúa a ser conveniente para simplificar notacións e cálculos.

Os infinitesimais son cantidades lexítimas na análise non-padrón de Abraham Robinson. Nesta teoría, o cálculo enriba mencionado da derivada f(x) = x² pode ser xustificado cunha pequena modificación: hai que se referir á parte padrón do cociente da diferenza, e a parte padrón de x +dx é x.

De forma alternativa, pódese ter a xeometría diferencial sintética.

Véxase tamén

Outros artigos