Lema de Euclides

Non confundir con Lema de Euclides da división, Teorema de Euclides, ou Algoritmo de Euclides.

En álxebra e teoría de números, o lema de Euclides recolle unha propiedade fundamental dos números primos, a saber:

Se un primo p divide o produto ab de dous enteiros a e b, daquela p debe dividir polo menos un deses dous enteiros a ou b.

Vemos un exemplo, se p = 19, a = 133, b = 143, entón ab = 133 × 143 = 19019, e dado que isto é divisible por 19, o lema implica que un ou os dous de 133 ou 143 tamén son divisibles por 19. De feito, 133 = 19 × 7.

Se a premisa do lema non se cumpre, é dicir, p é un número composto, o seu resultado pode ser verdadeiro ou falso. Por exemplo, no caso de p = 10, a = 4, b = 15, o número composto 10 divide ab = 4 × 15 = 60, pero 10 non divide nin 4 nin 15.

Esta propiedade é a clave na demostración do teorema fundamental da aritmética. Utilízase para definir elementos primos, unha xeneralización de números primos a aneis conmutativos arbitrarios. O lema de Euclides mostra que nos números enteiros os elementos irredutibles tamén son elementos primos. A proba usa a indución polo que non aplica a todos os dominios de integridade.

Formulacións

O lema de Euclides úsase habitualmente na seguinte forma equivalente:

Se $p$ é un número primo que divide o produto $ab$ e non divide $a,$ daquela divide $b.$

O lema de Euclides pódese xeneralizar do seguinte xeito de números primos a calquera número enteiro.

Se un enteiro n divide o produto ab de dous enteiros, e n é coprimo con a, daquela n divide b.

Historia

O lema aparece primeiro como proposición 30 no Libro VII dos Elementos de Euclides. Está incluído en practicamente todos os libros que abranguen a teoría elemental de números.

A xeneralización do lema a números enteiros apareceu no libro de texto de Jean Prestet Nouveaux Elémens de Mathématiques en 1681.

Proba

Usando a identidade de Bézout

Nas matemáticas modernas, unha demostración común implica a identidade de Bézout, que era descoñecida na época de Euclides. A identidade de Bézout afirma que se x e y son enteiros primos (é dicir, non comparten divisores comúns distintos de 1 e −1) existen números enteiros r e s tales que

$rx+sy=1.$

Sexan a e n coprimos, e supoña que n | ab. Pola identidade de Bézout, existen r e s tal que

$rn+sa=1.$

Multiplicanso os dous lados por b:

$rnb+sab=b.$

O primeiro termo da esquerda é divisible por n, e o segundo termo é divisible por ab, que por hipótese é divisible por n. Polo tanto, a súa suma, b, tamén é divisible por n.

Proba do tratado Elementos

O lema de Euclides está demostrado na Proposición 30 do Libro VII dos Elementos de Euclides. A proba orixinal é difícil de entender tal como é, polo que podemos consultar o comentario de Euclid (1956, pp. 319–332).

Véxase tamén

Bibliografía

• Bajnok, Béla (2013). An Invitation to Abstract Mathematics. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-1-4614-6636-9. .
• Euclid (1956). The Thirteen Books of the Elements. 2 (Books III-IX). Traducido por Heath, Thomas Little. Dover Publications. ISBN 978-0-486-60089-5. 
• Euclid (1994). Les Éléments, traduction, commentaires et notes (en French) 2. Traducido por Vitrac, Bernard. pp. 338–339. ISBN 2-13-045568-9. 
• Gauss, Carl Friedrich (2001). Disquisitiones Arithmeticae. Traducido por Clarke, Arthur A. (Second, corrected ed.). New Haven, CT: Yale University Press. ISBN 978-0-300-09473-2. 
• Gauss, Carl Friedrich (1981). Untersuchungen uber hohere Arithmetik [Investigations on higher arithmetic]. Traducido por Maser, H. (Second ed.). New York: Chelsea. ISBN 978-0-8284-0191-3. 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M.; Wiles, A. J. (2008-09-15). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. 
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (2010). A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second ed.). New York: Springer. ISBN 978-1-4419-3094-1. 
• Joyner, David; Kreminski, Richard; Turisco, Joann (2004). Applied Abstract Algebra. JHU Press. ISBN 978-0-8018-7822-0. .
• Landau, Edmund (1999). Elementary Number Theory. Traducido por Goodman, J. E. (2nd ed.). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-0-821-82004-9. 
• Martin, G. E. (2012). The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-1-4612-5725-7. .
• Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (2nd ed.). Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3743-9. .

Outros artigos

• Identidade de Bézout
• Algoritmo de Euclides
• Teorema fundamental da aritmética
• Elemento primo
• Número primo
• Ideal primo

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Euclid's Lemma". MathWorld.