Libre de cadrados

Un número enteiro n é libre de cadrados se non é divisíbel por ningún cadrado perfecto maior ca 1. Isto quere dicir que os factores primos de n son todos distintos.

Desta forma, $10=2\cdot 5$ é libre de cadrados, mais $20=2^{2}\cdot 5$ non o é, porque é divisíbel por un cadrado.

Os primeiros enteiros positivos libres de cadrados son:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... (secuencia A005117 na OEIS).

Caracterizacións equivalentes

Un número é libre de cadrados se e só se:

• Non existe ningún primo p tal que p² divide a n.
• n factoriza en produto de primos distintos. Outra forma de dicir isto é que para toda factorización de n=ab, os factores a e b son primos entre si.
• O valor da función de Möbius de n, μ(n), é non nulo.

Distribución dos números libres de cadrados

Se Q(x) indica o número de números libres de cadrados menores ou iguais que x, entón

$Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O({\sqrt {x}})$

(véxase π).

A densidade dos números libres de cadrados é, polo tanto,

$\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Burton, David M. (2002). Elementary Number Theory (5ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-232569-0. 
• Everest, Graham; Ward, Thomas (2008). An Introduction to Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 9781852339173.