Matriz transposta

A transposta A^T dunha matriz A pódese obter reflectindo os elementos ao longo da súa diagonal. Repetindo o proceso na matriz transposta devolve os elementos á súa posición orixinal. Así, a transposta da transposta é a matriz orixinal, (A^T)^T = A.

Sexa $A$ unha matriz con $m$ filas e $n$ columnas. A matriz transposta, denotada por $A^{t}$.

Vén dada por:

$(A^{t})_{ij}=A_{ji},\ 1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m$

Onde o elemento $a_{ji}$ da matriz orixinal $A$ converterase no elemento $a_{ij}$ da matriz transposta $A^{t}$.

Exemplos

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}a&c&e\\b&d&f\\\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

Propiedades

Involutiva

• Para toda matriz $A$ ,

$(A^{t})^{t}=A\,$

Distributiva

• Sexan A e B matrices con elementos nun anel ${\mathcal {A}}$ e sexa $c\in {\mathcal {A}}$ :

$(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\,$

Linear

$(c\,A)^{t}=c\,A^{t}$

Outras

• Para o produto usual de matrices $A$ e $B$, temos $(AB)^{t}=B^{t}A^{t}\,$

• Si $A$ é unha matriz cadrada cuxas entradas son números reais, daquela $A^{t}A\,$ é semidefinida positiva.

Definicións asociadas

Unha matriz cadrada $A$ é <b id="mwWw">simétrica</b> se coincide coa súa transposta:

$A^{t}=A\,$

unha matriz cadrada $A$ é <b id="mwYg">antisimétrica</b> se a súa transposta coincide coa súa inversa aditiva.

$A^{t}=-A\,$

Se os elementos da matriz $A$ son números complexos e a súa transposta coincide coa súa conxugada, dise que a matriz é hermitiana.

$A^{t}={\bar {A}},\quad A=({\bar {A}})^{t}=A^{\dagger }$

e antihermítiana se

$A^{t}=-{\bar {A}}$

Cabe sinalar que se unha matriz é hermitiana (matriz simétrica no caso dunha matriz real), daquela é diagonalizábel e os seus valores propios son reais. (A recíproca é falsa).

Véxase tamén

Outros artigos

• Matriz (matemáticas).
• Matriz invertíbel.

Ligazóns externas

• "Transposed Matrix". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].