Número superperfecto
En teoría de números, un número superperfecto é un número enteiro positivo n que satisfai
onde σ é a función sumatorio de divisores. Os números superperfectos non son unha xeneralización dos números perfectos senón que teñen unha xeneralización común. O termo foi acuñado por D. Suryanarayana (1969).[1]
Os primeiros números superperfectos son:
Para poder entedelo mellor, aquí un exemplo: 16 é un número superperfecto xa que σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, e σ(31) = 1 + 31 = 32, polo que σ(σ(16)) = 32 = 2 × 16.
Se n é un número superperfecto par, entón n debe ser unha potencia de 2, 2k, tal que 2k+1 − 1 é un primo de Mersenne.[1]
Non se sabe se existen números superperfectos impares. Un número superperfecto impar n tería que ser un número cadrado tal que n ou σ(n) sexa divisible por polo menos tres primos distintos. Non hai números superperfectos impares por debaixo de .[1]
Xeneralizacións
[editar | editar a fonte]Os números perfectos e superperfectos son exemplos dunha clase denominada números m-superperfectos, que son os que satisfán
para os números perfectos m=1 e para os superperfectos m=2 respectivamente. Para m ≥ 3 non hai números m-superperfectos pares. [1]
Os números m-superperfectos son á súa vez exemplos de (m, k)-números perfectos que satisfán[2]
Con esta notación, os números perfectos son (1,2)-perfectos, os números multiperfectos son (1, k)-perfectos, os números superperfectos son (2,2)-perfectos e os números m-superperfectos son (m, 2)-perfectos.[3] Exemplos de clases de (m, k)-números perfectos son:
| m | k | números (m,k)-perfectos | Secuencia OEIS |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144 | (secuencia A019279 na OEIS) |
| 2 | 3 | 8, 21, 512 | (secuencia A019281 na OEIS) |
| 2 | 4 | 15, 1023, 29127 | (secuencia A019282 na OEIS) |
| 2 | 6 | 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024 | (secuencia A019283 na OEIS) |
| 2 | 7 | 24, 1536, 47360, 343976 | (secuencia A019284 na OEIS) |
| 2 | 8 | 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072 | (secuencia A019285 na OEIS) |
| 2 | 9 | 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936 | (secuencia A019286 na OEIS) |
| 2 | 10 | 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296 | (secuencia A019287 na OEIS) |
| 2 | 11 | 4404480, 57669920, 238608384 | (secuencia A019288 na OEIS) |
| 2 | 12 | 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120 | (secuencia A019289 na OEIS) |
| 3 | calquera | 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ... | (secuencia A019292 na OEIS) |
| 4 | calquera | 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ... | (secuencia A019293 na OEIS) |
Notas
[editar | editar a fonte]Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Cohen, G. L.; te Riele, H. J. J. (1996). "Iterating the sum-of-divisors function". Experimental Mathematics: 93–100. doi:10.1080/10586458.1996.10504580.
- Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20860-2.
- Sándorf, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav (2006). Handbook of number theory I. Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9.
