Secante (matemáticas)

A secante, é a razón trigonométrica recíproca do coseno:

\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {c}{b}}

Forma xeométrica[editar | editar a fonte]

Temos que, calculando a partir da circunferencia de raio unidade:

\sec \alpha ={\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {AE}}{1}}={\overline {AE}}

Representación gráfica[editar | editar a fonte]

Partindo da definición de secante como a recíproca do coseno:

Coñecendo a función do coseno, podemos ver que para os valores nos que o coseno vale cero, a secante faise infinito, se a función coseno tende a cero desde valores positivos a secante tende a: $+\infty$ .

\lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}\cos(\alpha )=0^{+}

\lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}\sec(\alpha )={\cfrac {1}{{\underset {\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}{\lim }}\;\cos(\alpha )}}={\cfrac {1}{0^{+}}}=+\infty

mentres que cando o coseno tende a cero desde valores negativos a secante tende a: $-\infty$ .

\lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{+}}\cos(\alpha )=0^{-}

\lim _{\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{+}}\sec(\alpha )={\cfrac {1}{{\underset {\alpha \to {\frac {\pi }{2}}^{+}}{\lim }}\;\cos(\alpha )}}={\cfrac {1}{0^{-}}}=-\infty

Cando o coseno do ángulo vale un, a súa secante tamén vale un, como se pode ver na gráfica.

Valores significativos[editar | editar a fonte]

Pódese obter facilmente unha táboa con algúns valores significativos lembrando que $\sec x={1 \over \cos x}$ :^[1]

$x$ en radiáns	0	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {5}{12}}\pi$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
$x$ en graos	0°	15°	30°	45°	60°	75°	90°	180°	270°	360°
$\sec(x)$	$1$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$	$\nexists$	$-1$	$\nexists$	$1$

Derivadas[editar | editar a fonte]

As derivadas obtéñense lembrando a súa definición e aplicando a regra do cociente^[2]:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\cos x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\cdot \tan x.

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\sec x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\tan x}{\cos x}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1+\sin ^{2}x}{\cos ^{3}x}}=\sec ^{3}x\left(1+\sin ^{2}x\right).

Relación trigonométrica secante-cosecante[editar | editar a fonte]

Consecuencia da primeira relación fundamental da trigonometría $(\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1)$ é a seguinte relación entre a secante e a cosecante:

\mathrm {cosec} ^{2}x+\sec ^{2}x=\mathrm {cosec} ^{2}x\cdot \sec ^{2}x

para todo $x\neq k{\pi \over 2}$ con $k\in \mathbb {Z}$ .

A relación obtense facilmente dividindo a relación fundamental por $\sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x$ .

Notas[editar | editar a fonte]

↑ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni (2012). Ghisetti e Corvi, ed. Lineamenti.Math Blu Volume 4. ISBN 978-88-538-0432-7. p.182
↑ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi. Zanichelli, 2009, ed. Base azul curso de Matemáticas-Tomo 5. ISBN 978-88-08-03933-0. p. V17