Series de Eisenstein

As series de Eisenstein, que reciben o nome do matemático alemán Gotthold Eisenstein, ^[1] son formas modulares particulares con expansións de series infinitas que se poden escribir directamente. Definidas orixinalmente para o grupo modular, as series de Eisenstein pódense xeneralizar na teoría das formas automorfas.

Series de Eisenstein para o grupo modular

Sexa $τ$ un número complexo con parte imaxinaria estritamente positiva. Definamos a serie holomorfa de Eisenstein $G 2 k (τ)$ de peso $2 k$ , onde $k \geq 2$ é un número enteiro, pola seguinte serie: ^[2]

G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.

Esta serie converxe absolutamente a unha función holomorfa de $τ$ no semiplano superior e a súa expansión de Fourier indicada a continuación mostra que se estende a unha función holomorfa en $τ = i \infty$ . É un feito notable que a serie Eisenstein é unha forma modular. De feito, a propiedade clave é a súa covarianza $\mathbb {Z}$ . Explicitamente se $\mathbb {Z}$ e $ad - bc = 1$ entón

G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )

Nótese que $k \geq 2$ é necesario para que a serie converxa absolutamente, mentres que $k$ debe ser par, se non, a suma desaparece porque os termos $(- m, - n)$ e $(m, n)$ anúlanse. Para $k = 2$ a serie converxe mais non é unha forma modular.

Relación con invariantes modulares

As invariantes modulares $g 2$ e $g 3$ dunha curva elíptica veñen dados polas dúas primeiras series de Eisenstein: ^[3]

{\begin{aligned}g_{2}&=60G_{4}\\g_{3}&=140G_{6}.\end{aligned}}

Existen expresións destas dúas funcións en termos das funcións theta.

Relación de recorrencia

Calquera forma modular holomorfa para o grupo modular ^[4] pódese escribir como un polinomio en $G 4$ e $G 6$ . En concreto, a orde superior $G 2 k$ pódese escribir en termos de $G 4$ e $G 6$ mediante unha relación de recorrencia. Sexa $d k = (2 k + 3) k! G 2 k + 4$ , polo que, por exemplo, $d 0 = 3 G 4$ e $d 1 = 5 G 6$ . Daquela o $d k$ satisfai a relación

\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}

para todo $n \geq 0$ . Onde $(n k)$ é o coeficiente binomial.

Os $d k$ tamén aparecen na expansión en serie para as funcións elípticas de Weierstrass:

{\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}.\end{aligned}}

Series de Fourier

Definimos $q = e 2π iτ$ , (algúns libros máis antigos definen que $q$ como o nome $q = e π iτ$ , mais agora $q = e 2π iτ$ é o estándar.) Daquela a serie de Fourier da serie de Eisenstein ^[5] é

G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)

onde os coeficientes $c 2 k$ están dados por

{\begin{aligned}c_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}\\[4pt]&={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.\end{aligned}}

Onde $B n$ son os números de Bernoulli, $ζ (z)$ é a función zeta de Riemann e $σ p (n)$ é a función suma dos divisores. En particular temos

{\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right).\end{aligned}}

A suma sobre $q$ pódese representar como unha serie de Lambert e teríamos

\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}

para complexos arbitrarios $| q | < 1$ e $a$ . Cando se traballa coa $q$ -expansión da serie de Eisenstein, adoita introducirse esta notación alternativa:

{\begin{aligned}E_{2k}(\tau )&={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\\&=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}.\end{aligned}}

Identidades coa serie de Eisenstein

Como funcións theta

Fonte: ^[6]

Dado $q = e 2π iτ$ , temos

{\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E_{8}(\tau )&=1+480\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}

e definimos as funcións theta de Jacobi, que normalmente usan a función nome $q = e π iτ$ ,

{\begin{aligned}a&=\theta _{2}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}

onde $θ m$ e $ϑ ij$ representan notacións alternativas. Entón temos as relacións simétricas,

{\begin{aligned}E_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\[4pt]E_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\[4pt]E_{8}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right)=a^{8}b^{8}+a^{8}c^{8}+b^{8}c^{8}\end{aligned}}

Unha transformación alxébrica básica implica inmediatamente

E_{4}^{3}-E_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}

unha expresión relacionada co discriminante modular,

\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}

Produtos das series de Eisenstein

As series de Eisenstein forman os exemplos máis explícitos de formas modulares para o grupo modular completo $\mathbb {Z}$ . Dado que o espazo das formas modulares de peso $2 k$ ten dimensión 1 para $2 k = 4, 6, 8, 10, 14$ , os diferentes produtos das series de Eisenstein que teñen eses pesos teñen que ser iguais a un múltiplo escalar. De feito, obtemos as identidades: ^[7]

E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}.

Usando as $q$ -expansións da serie de Eisenstein indicadas anteriormente, poden ser reformuladas como identidades que implican as sumas de potencias dos divisores:

\left(1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right)^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},

polo tanto

\sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),

e do mesmo xeito para os demais. A función theta dunha retícula unimodular par de oito dimensións $Γ$ é unha forma modular de peso 4 para o grupo modular completo, que dá as seguintes identidades:

\theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\qquad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)

para o número $r Γ (n)$ de vectores de lonxitude cadrada $2 n$ na retícula raíz do tipo $E 8$ .

Usando a relación de recorrencia anterior, todos os $E 2 k$ superiores poden expresarse como polinomios en $E 4$ e $E 6$ . Por exemplo:

{\begin{aligned}E_{8}&=E_{4}^{2}\\E_{10}&=E_{4}\cdot E_{6}\\691\cdot E_{12}&=441\cdot E_{4}^{3}+250\cdot E_{6}^{2}\\E_{14}&=E_{4}^{2}\cdot E_{6}\\3617\cdot E_{16}&=1617\cdot E_{4}^{4}+2000\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{2}\\43867\cdot E_{18}&=38367\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}+5500\cdot E_{6}^{3}\\174611\cdot E_{20}&=53361\cdot E_{4}^{5}+121250\cdot E_{4}^{2}\cdot E_{6}^{2}\\77683\cdot E_{22}&=57183\cdot E_{4}^{4}\cdot E_{6}+20500\cdot E_{4}\cdot E_{6}^{3}\\236364091\cdot E_{24}&=49679091\cdot E_{4}^{6}+176400000\cdot E_{4}^{3}\cdot E_{6}^{2}+10285000\cdot E_{6}^{4}\end{aligned}}

Moitas relacións entre produtos da serie de Eisenstein pódense escribir dun xeito elegante usando determinantes de Hankel, por exemplo, a identidade de Garvan

\left({\frac {\Delta }{(2\pi )^{12}}}\right)^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}

onde

\Delta =(2\pi )^{12}{\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}

é o discriminante modular.

Identidades de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan deu varias identidades interesantes entre as primeiras series de Eisenstein usando a diferenciación. ^[8] Sexan

{\begin{aligned}L(q)&=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{2}(\tau )\\M(q)&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{4}(\tau )\\N(q)&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E_{6}(\tau ),\end{aligned}}

daquela

{\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&={\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&={\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&={\frac {LN-M^{2}}{2}}.\end{aligned}}

Estas identidades, como as identidades entre as series, producen identidades de convolución aritméticas que implican a función suma de divisores. Seguindo a Ramanujan, para poñer estas identidades na forma máis simple é necesario estender o dominio de $σ p (n)$ para incluír o cero, configurando

{\begin{aligned}\sigma _{p}(0)={\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&=-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\tfrac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\tfrac {1}{504}}.\end{aligned}}

Logo, por exemplo

\sum _{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\tfrac {5}{12}}\sigma _{3}(n)-{\tfrac {1}{2}}n\sigma (n).

Xeneralizacións

As formas automorfas xeneralizan a idea de formas modulares para os grupos de Lie xenéricos; e as series de Eisenstein xeneralízanse dun xeito similar.

Definindo $O K$ como o anel de números enteiros dun corpo numérico alxébrico totalmente real $K$ , defínese entón o grupo modular de Hilbert–Blumenthal como $PSL(2, O K)$ . Podemos entón asociar unha serie de Eisenstein a cada cúspide do grupo modular Hilbert–Blumenthal.

Notas

↑ ""Gotthold Eisenstein - Biography"". Maths History (en inglés).
↑ ""PARA-EISENSTEIN SERIES FOR THE MODULAR GROUP GL(2, 𝔽q[T])"" 15: 1463–1475. ISSN 1027-5487. doi:10.11650/twjm/1500406358.
↑ "Eisenstein Series in String Theory" 17: 1215–1224. ISSN 0264-9381. arXiv:hep-th/9910115. doi:10.1088/0264-9381/17/5/330.
↑ Mertens, Michael H.; Rolen, Larry (2015). Lacunary recurrences for Eisenstein series. Research in Number Theory 1. ISSN 2363-9555. arXiv:1504.00356. doi:10.1007/s40993-015-0010-x.
↑ Karel, Martin L. (1974). Fourier Coefficients of Certain Eisenstein Series. Annals of Mathematics 99. pp. 176–202. ISSN 0003-486X. JSTOR 1971017. doi:10.2307/1971017.
↑ "How to prove this series identity involving Eisenstein series?". Mathematics Stack Exchange (en inglés). Consultado o 2023-09-05.
↑ Dickson, Martin; Neururer, Michael (2018). Products of Eisenstein series and Fourier expansions of modular forms at cusps. Journal of Number Theory 188. pp. 137–164. arXiv:1603.00774. doi:10.1016/j.jnt.2017.12.013.
↑ Bhuvan, E. N.; Vasuki, K. R. (2019-06-24). On a Ramanujan's Eisenstein series identity of level fifteen. Proceedings - Mathematical Sciences (en inglés) 129. p. 57. ISSN 0973-7685. doi:10.1007/s12044-019-0498-4.

Véxase tamén

Bibliografía

Akhiezer, Naum Illyich (1970). Elements of the Theory of Elliptic Functions (en Russian). Moscow. Translated into English as Elements of the Theory of Elliptic Functions. AMS Translations of Mathematical Monographs 79. Providence, RI: American Mathematical Society. 1990. ISBN 0-8218-4532-2.
Apostol, Tom M. (1990). Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory (2nd ed.). New York, NY: Springer. ISBN 0-387-97127-0.
Chan, Heng Huat; Ong, Yau Lin (1999). On Eisenstein Series (PDF). Proc. Amer. Math. Soc. 127. pp. 1735–1744. doi:10.1090/S0002-9939-99-04832-7.
Iwaniec, Henryk (2002). Spectral Methods of Automorphic Forms. Graduate Studies in Mathematics 53 (2nd ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. ch. 3. ISBN 0-8218-3160-7.
Serre, Jean-Pierre (1973). A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7 (transl. ed.). New York & Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 9780387900407.

[1] ""Gotthold Eisenstein - Biography"". Maths History (en inglés).

[2] ""PARA-EISENSTEIN SERIES FOR THE MODULAR GROUP GL(2, 𝔽q[T])"" 15: 1463–1475. ISSN 1027-5487. doi:10.11650/twjm/1500406358.

[3] "Eisenstein Series in String Theory" 17: 1215–1224. ISSN 0264-9381. arXiv:hep-th/9910115. doi:10.1088/0264-9381/17/5/330.

[4] Mertens, Michael H.; Rolen, Larry (2015). Lacunary recurrences for Eisenstein series. Research in Number Theory 1. ISSN 2363-9555. arXiv:1504.00356. doi:10.1007/s40993-015-0010-x.

[5] Karel, Martin L. (1974). Fourier Coefficients of Certain Eisenstein Series. Annals of Mathematics 99. pp. 176–202. ISSN 0003-486X. JSTOR 1971017. doi:10.2307/1971017.

[6] "How to prove this series identity involving Eisenstein series?". Mathematics Stack Exchange (en inglés). Consultado o 2023-09-05.

[7] Dickson, Martin; Neururer, Michael (2018). Products of Eisenstein series and Fourier expansions of modular forms at cusps. Journal of Number Theory 188. pp. 137–164. arXiv:1603.00774. doi:10.1016/j.jnt.2017.12.013.

[8] Bhuvan, E. N.; Vasuki, K. R. (2019-06-24). On a Ramanujan's Eisenstein series identity of level fifteen. Proceedings - Mathematical Sciences (en inglés) 129. p. 57. ISSN 0973-7685. doi:10.1007/s12044-019-0498-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]