Teorema central do límite

O teorema do límite central ou teorema central do límite indica que, en condicións moi xerais, se S_n é a suma de n variables aleatorias independentes e de varianza non nula pero finita, entón a función de distribución de S_n «aproxímase ben» a unha distribución normal (tamén chamada distribución gaussiana, curva de Gauss ou campá de Gauss). Así pois, o teorema asegura que isto ocorre cando a suma destas variables aleatorias independentes é o suficientemente grande.

Definición

Sexa ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ a función de densidade da distribución normal definida como

$f_{\mu ,\sigma ^{2}}(x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},$

cunha media µ e unha varianza σ². O caso no que a súa función de densidade sexa ${\mathcal {N}}(0,1)$, a distribución coñécese como normal estándar.

Defínese S_n como a suma de n variables aleatorias, independentes, identicamente distribuídas, e con media µ e varianza σ² finitas (σ²≠0):

$S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}\,$

de maneira que, a media de S_n é n•µ e a varianza n•σ², dado que son variables aleatorias independentes. Con tal de facer máis fácil a comprensión do teorema e o seu posterior uso, faise unha estandarización de S_n como

$Z_{n}\ =\ {\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}$

para que a media da nova variable sexa igual a 0 e o desvío estándar sexa igual a 1. Así, as variables Z_n converxerán en distribución á distribución normal estándar N(0,1), cando n tende a infinito. Como consecuencia, se Φ(z) é a función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} (Z_{n}\leq z)=\Phi (z)\,$

onde P( ) indica probabilidade e lim refírese ao límite matemático.

Enunciado formal

De maneira formal, normalizada e compacta o enunciado do teorema é:

Teorema do límite central: Sexa ${X_{1}}$, ${X_{2}}$, ..., ${X_{n}}$ un conxunto de variables aleatorias, independentes e identicamente distribuídas con media μ e varianza $0<\sigma ^{2}<\infty$. Sexa

$S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}\,$

Entón

$\lim _{n\to \infty }\Pr \left({\frac {S_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\leq z\right)=\Phi (z)\,$.

É moi común atopalo coa variable estandarizada Z_n en función da media da mostra ${\overline {X}}_{n}$,

${\frac {{\overline {X}}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}},$

posto que son equivalentes, así como atopalo en versións non normalizadas como pode ser:

Teorema (do límite central): Sexa ${X_{1}}$, ${X_{2}}$, ..., ${X_{n}}$ un conxunto de variables aleatorias, independentes e identicamente distribuídas dunha distribución con media μ e varianza σ²≠0. Entón, se n é suficientemente grande, a variable aleatoria

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

ten aproximadamente unha distribución normal con $\mu _{\bar {X}}=\mu$ e $\sigma _{\bar {X}}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$.

É importante sinalar que este teorema non informa nada acerca da distribución de ${X_{i}}$, agás a existencia de media e varianza.

Propiedades

• O teorema central do límite garante unha distribución normal cando n é suficientemente grande.
• Existen diferentes versións do teorema, en función das condicións empregadas para asegurar a converxencia. Unha das máis simples establece que é suficiente que as variables que se suman sexan independentes, identicamente distribuídas, con valor esperado e varianza finitas.
• Este teorema, pertencente á teoría da probabilidade, atopa aplicacións en moitos campos relacionados, tales como a inferencia estatística ou a teoría de renovación.

Varianza nula ou infinita

No caso de n variables aleatorias X_i independentes e identicamente distribuídas, cada unha delas con varianza nula ou infinita, a distribución das variables:

$S_{n}={\frac {X_{1}+\dots +X_{n}}{n}}$

non converxen en distribución cara a unha normal. A continuación preséntanse os dous casos por separado.

Varianza infinita

Considérese o caso de variables que seguen unha distribución de Cauchy:

$F_{X_{i}}(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan x$

Neste caso pode demostrarse que a distribución asintótica de S_n vén dada por outra distribución de Cauchy, con menor varianza:

$F_{S_{n}}(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {x}{n}}$

Para outras distribucións de varianza infinita non é fácil dar unha expresión pechada para a súa distribución de probabilidade aínda que a súa función característica si ten unha forma sinxela, dada polo teorema de Lévy-Khintchine:

$\varphi _{S_{n}}(t)=\exp \left[ist-c|t|^{\alpha }\left(1+i\gamma \ {\frac {t}{|t|}}u(t,\alpha )\right)\right]$

onde $c\geq 0,-1\geq \gamma \geq 1,0<\alpha \geq 2$ y:

$u(t,\alpha )={\begin{cases}\tan {\cfrac {\pi \alpha }{2}}&\alpha \neq 1\\{\cfrac {2}{\pi }}\ln |t|&\alpha =1\end{cases}}$

As condicións anteriores equivalen a que unha distribución de probabilidade sexa unha distribución estable.

Varianza nula

Este caso corresponde trivialmente a unha función dexenerada tipo delta de Dirac cunha función de distribución que vén dada por:

$F_{X_{i}}(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (s-x_{0})\ ds={\begin{cases}0&x<x_{0}\\1&x\geq x_{0}\end{cases}}$

Neste caso resulta que a variable $S_{n}$ trivialmente ten a mesma distribución que cada unha das variables independentes.

Véxase tamén

Outros artigos

• Lei dos grandes números
• Distribución normal
• Teorema de De Moivre-Laplace

Ligazóns externas

• Blaiotta, Jimena; Delieutraz, Pablo (30 de xullo de 2004). "Teorema central del límite" (PDF) (en castelán). Consultado o 15 de decembro de 2010. 
• Behar Gutiérrez, Roberto; Grima Cintas, Pere (2004). 55 respuestas a dudas típicas de Estadística (en castelán). Madrid: Edicións Díaz de Santos, S.A. pp. 187–189. ISBN 84-7978-643-4.