Teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether

Na teoría alxébrica de números, o teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether afirma que unha álxebra simple central sobre un corpo numérico alxébrico K que se separa (split) para todo completamento K _v é unha álxebra matricial sobre K. O teorema é un exemplo do principio local-global na teoría alxébrica de números e conduce a unha descrición completa das álxebras de división de dimensións finitas sobre corpos numéricos alxébricos en termos das súas invariantes locais. Foi probado independentemente por Richard Brauer, Helmut Hasse e Emmy Noether e por Abraham Adrian Albert.

Enunciado do teorema

Sexa A unha álxebra simple central de rango d sobre un corpo numérico alxébrico K. Supoña que para calquera valoración v, A sepárase no corpo local correspondente K _v:

A\otimes _{K}K_{v}\simeq M_{d}(K_{v}).

Daquela A é isomorfo á álxebra matricial M_d (K).

Aplicacións

Usando a teoría do grupo de Brauer, móstrase que dúas álxebras simples centrais A e B sobre un corpo numérico alxébrico K son isomórficas sobre K se e só se os seus completamentos A_v e B_v son isomórficos sobre a completamento K_v para cada v.

Xunto co teorema de Grunwald–Wang, o teorema de Albert–Brauer–Hasse–Noether implica que toda álxebra simple central sobre un corpo numérico alxébrico é cíclica, é dicir, pódese obter mediante unha construción explícita a partir dunha extensión de corpo cíclico L / K.

Véxase tamén

Bibliografía

Albert, A.A.; Hasse, H. (1932). A determination of all normal division algebras over an algebraic number field. Trans. Amer. Math. Soc. 34. pp. 722–726. Zbl 0005.05003. doi:10.1090/s0002-9947-1932-1501659-x.
Brauer, R.; Hasse, H.; Noether, E. (1932). Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren. J. reine angew. Math. 167. pp. 399–404.
Fenster, D.D.; Schwermer, J. (2005). Delicate collaboration: Adrian Albert and Helmut Hasse and the Principal Theorem in Division Algebras. Archive for History of Exact Sciences 59. pp. 349–379. doi:10.1007/s00407-004-0093-6.
Pierce, Richard (1982). Associative algebras. Graduate Texts in Mathematics 88. New York-Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90693-2. Zbl 0497.16001.
Reiner, I. (2003). Maximal Orders. London Mathematical Society Monographs. New Series 28. Oxford University Press. p. 276. ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008.
Roquette, Peter (2005). The Brauer–Hasse–Noether theorem in historical perspective (PDF). Schriften der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften 15. MR 2222818. Zbl 1060.01009. Consultado o 2009-07-05. Revised version — Roquette, Peter (2013). Contributions to the history of number theory in the 20th century. Heritage of European Mathematics. Zürich: European Mathematical Society. pp. 1–76. ISBN 978-3-03719-113-2. Zbl 1276.11001.
Albert, Nancy E. (2005), "A³ & His Algebra, iUniverse, ISBN 978-0-595-32817-8

Outros artigos