Teorema de Green

En física e matemáticas, o teorema de Green dá a relación entre unha integral de liña sobre unha curva pechada simple C e unha integral dobre sobre a rexión plana D limitada por C. O teorema de Green chámase así polo científico británico George Green e é un caso especial do máis xeral teorema de Stokes. O teorema afirma:

Sexa C unha curva pechada simple positivamente orientada, diferenciable a cachos, no plano e sexa D a rexión limitada por C. Se L e M teñen derivadas parciais continuas nunha rexión aberta que contén D,

$\int _{C^{+}}(L\,dx+M\,dy)=\int \!\!\!\int _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$

Ás veces, a notación

$\oint _{C^{+}}(L\,dx+M\,dy)$

utilízase para establecer que a integral de liña está calculada usando a orientación positiva (antihoraria) da curva pechada C.

Relación co teorema da diverxencia

O teorema de Green é equivalente á seguinte analoxía bidimensional do teorema de Stokes:

$\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} ds,$ onde $\mathbf {\hat {n}}$ é o vector normal saínte na fronteira.

Para ver isto, considere a unidade normal na parte dereita da ecuación. Como $d\mathbf {r} =\langle dx,dy\rangle$ é un vector apuntando tanxencialmente a través dunha curva, e a curva C está orientada de maneira positiva (é dicir, en contra do sentido das agullas do reloxo) a través da fronteira, un vector normal saínte sería aquel que apunta en 90º cara a dereita, o cal podería ser $\langle dy,-dx\rangle$. O módulo deste vector é ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds$. Polo tanto $\mathbf {\hat {n}} ds=\langle dy,-dx\rangle$.

Tomando as compoñentes de $\mathbf {F} =\langle P,Q\rangle$, o lado dereito convértese en

$\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} ds=\int _{C}(Pdy-Qdx)$

que por medio do teorema de Green resulta:

$\int _{C}(-Qdx+Pdy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\,dA=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA$

Véxase tamén

Outros artigos

• Teorema de Stokes
• Teorema da diverxencia
• Planímetro

Ligazóns externas

• Teorema de Green en Mathworld en inglés.
• Unha demostración en flash do Teorema de Green en inglés.

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---