Teorema do número pentagonal

En matemáticas, o teorema do número pentagonal de Euler relaciona as representacións de produtos e series da función de Euler. Afirma que

$\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{n}\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{k}x^{k\left(3k-1\right)/2}=1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\left(x^{k(3k+1)/2}+x^{k(3k-1)/2}\right).$

Noutras palabras,

$(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots .$

Os expoñentes 1, 2, 5, 7, 12,... no lado dereito están dadas pola fórmula g_k = k(3k − 1)/2 para k = 1, −1, 2, −2, 3, ... e chámanse números pentagonais (xeneralizados) (secuencia A001318 na OEIS). (O termo constante 1 corresponde a $k=0$) Isto cúmprese como identidade da serie de potencias converxentes para $|x|<1$, e tamén como unha identidade de serie formal de potencias.

Relación coas particións

A identidade implica unha recorrencia para o cálculo $p(n)$, o número de particións de n:

$p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots$

ou máis formalmente,

$p(n)=\sum _{k\neq 0}(-1)^{k-1}p(n-g_{k})$

onde a suma é sobre todos os enteiros k (positivos e negativos) distintos de cero e $g_{k}$ é o k-ésimo número pentagonal xeneralizado. Posto que $p(n)=0$ para todos os $n<0$, a serie aparentemente infinita da dereita ten só un número finito de termos distintos de cero, o que permite un cálculo eficiente de p (n).

Recorrencia da partición

Usando particións dun enteiro, que denotamos como: $n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{\ell }$, onde $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{\ell }>0$. O número de particións de n é a función de partición p(n) que ten a función xeradora:

$\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})^{-1}$

Teña en conta que é o recíproco do produto no lado esquerdo da nosa identidade:

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})\right)=1$

Denotemos a expansión do noso produto por $\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},$ así

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)=1.$

Multiplicando o lado esquerdo e igualando os coeficientes dos dous lados, obtemos a₀ p(0) = 1 e $\sum _{i=0}^{n}p(n-i)a_{i}=0$ para todos os $n\geq 1$. Isto dá unha relación de recorrencia que define p(n) en termos de a_n, e viceversa unha recorrencia para a_n en termos de p(n). Daquela o noso resultado desexado:

$a_{i}:={\begin{cases}1&{\text{ se }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ e }}k{\text{ par}}\\-1&{\text{ se }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ e }}k{\text{ impar }}\\0&{\text{ noutro caso }}\end{cases}}$

para $i\geq 1$ é equivalente á identidade $\sum _{i}(-1)^{i}p(n-g_{i})=0,$ onde $g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)$ e i varía sobre todos os números enteiros tal que $g_{i}\leq n$ (este intervalo inclúe tanto i positivo como negativo, para usar ambos os tipos de números pentagonais xeneralizados). Isto á súa vez significa:

$\sum _{i\mathrm {\ par} }p(n-g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ impar} }p(n-g_{i}).$

En termos de conxuntos de particións, isto equivale a dicir que os seguintes conxuntos son de igual cardinalidade:

${\mathcal {X}}:=\bigcup _{i\mathrm {\ par} }{\mathcal {P}}(n-g_{i})$        e        ${\mathcal {Y}}:=\bigcup _{i{\text{ impar }}}{\mathcal {P}}(n-g_{i}),$

onde ${\mathcal {P}}(n)$ denota o conxunto de todas as particións de $n$. Só falta dar unha bixección dun conxunto a outro, que se realiza mediante a función φ de X a Y que mapea a partición. ${\mathcal {P}}(n-g_{i})\ni \lambda :n-g_{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dotsb +\lambda _{\ell }$ á partición $\lambda '=\varphi (\lambda )$ definido por:

$\varphi (\lambda ):={\begin{cases}\lambda ':n-g_{i-1}=(\ell +3i-2)+(\lambda _{1}-1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }-1)&{\text{ se }}\ell +3i>\lambda _{1}\\\\\lambda ':n-g_{i+1}=(\lambda _{2}+1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }+1)+\underbrace {1+\dotsb +1} _{\lambda _{1}-\ell -3i}&{\text{ se }}\ell +3i\leq \lambda _{1}.\end{cases}}$

Trátase dunha involución (un mapeo auto-inverso), e polo tanto en particular unha bixección, que proba a nosa premisa e a identidade.

Véxase tamén

Bibliografía

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243. Zbl 1159.11001.

Outros artigos

• Produto triplo de Jacobi.

Ligazóns externas

• Jordan Bell (2005). "Euler and the pentagonal number theorem". arXiv:math.HO/0510054. 

• On Euler's Pentagonal Theorem at MathPages
• (secuencia A000041 na OEIS) a(n) = number of partitions of n (the partition numbers)}}
• De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium at Scholarly Commons.