Teorema fundamental da álxebra

O teorema fundamental da álxebra establece que todo polinomio con números complexos por coeficientes e grao distinto de cero ten polo menos unha raíz (que será, en xeral, un número complexo).

Enunciado e equivalencias

O enunciado máis utilizado do teorema é o seguinte:

Todo polinomio nunha variable de grao n ≥ 1 con coeficientes reais ou complexos ten polo menos unha raíz complexa.

En ocasións emprégase tamén o seguinte enunciado: Un polinomio nunha variable, non constante e con coeficientes complexos, ten tantas raíces como indica o seu grao (contando as súas multiplicidades.

Son equivalentes as afirmacións:

• O corpo dos números complexos é alxébricamente pechado para as operacións alxébricas
• Todo polinomio complexo de grao n ≥ 1 é expresable como produto de polinomios de grao 1

$p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,z^{k}=a_{n}\,\prod _{i=1}^{n}(z-b_{i}).$

Véxase tamén

Bibliografía

• Cauchy, Augustin Louis (1821). Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique. Paris: Éditions Jacques Gabay (publicado o 1992). ISBN 2-87647-053-5.  (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)
• Euler, Leonhard (1751). "Recherches sur les racines imaginaires des équations". Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (Berlin) 5: 222–288. Arquivado dende o orixinal o 24 de decembro de 2008. Consultado o 05 de xuño de 2020. . English translation: Euler, Leonhard (1751). "Investigations on the Imaginary Roots of Equations" (PDF). Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin (Berlin) 5: 222–288. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 08 de outubro de 2007. Consultado o 02 de maio de 2016. 
• Gauss, Carl Friedrich (1799). Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Helmstedt: C. G. Fleckeisen. 

Ligazóns externas

• Fundamental Theorem of Algebra — a collection of proofs (en inglés)
• D. J. Velleman: The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach, PDF (unpublished paper)Arquivado 16 de xuño de 2016 en Wayback Machine., visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs (en inglés)

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---