Vectores fila e columna

Na álxebra linear, un vector columna con $m$ elementos é unha matriz $m\times 1$, consta dunha única columna de $m$ entradas, por exemplo,

${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}.$

Do mesmo xeito, un vector fila é unha matriz $1\times n$, consta dunha única fila de $n$ entradas,

${\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.$

(Neste artigo a letra grosa úsase tanto para vectores fila como vectores columna.)

A transposta (indicado por T) de calquera vector fila é un vector de columna, e a transposta de calquera vector columna é un vector fila:

${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}$.

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.$

O conxunto de todos os vectores fila con n entradas nun determinado corpo (como os números reais) forma un espazo vectorial de n dimensións; do mesmo xeito, o conxunto de todos os vectores columna con m entradas forman un espazo vectorial de m dimensións.

Notación

Para simplificar a escritura de vectores de columna en liña con outros textos, ás veces escríbense como vectores fila coa operación de transposición aplicada a eles.

${\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$

Operacións

A multiplicación de matrices implica a acción de multiplicar cada vector fila dunha matriz por cada vector columna doutra matriz.

O produto escalar de dous vectores a, b, é igual ao produto matricial da transposta de a con b,

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}$.

O produto matricial dun vector columna e un vector fila dá o produto externo dos vectores a, b, un exemplo do máis xenérico produto tensorial:

$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}$,

que é a transposta do produto matricial de b e a:

$\mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.$

Un xeito de velo é que o produto de matrices de dimensións $1\times n$ por $n\times 1$ é unha matriz de dimensións $1\times 1$ que é un número resultado do produto escalar. Mentres que o produto de matrices de dimensións $n\times 1$ por $1\times n$ é unha matriz de dimensións $n\times n$, neste caso produto externo.

Véxase tamén

Bibliografía

• Axler, Sheldon Jay (1997). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98259-0. 
• Lay, David C. (August 22, 2005). Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.). Addison Wesley. ISBN 978-0-321-28713-7. 

• Poole, David (2006). Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-99845-3. 
• Anton, Howard (2005). Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.). Wiley International. 
• Leon, Steven J. (2006). Linear Algebra With Applications (7th ed.). Pearson Prentice Hall. 

Outros artigos

• Matriz (matemáticas).

Ligazóns externas

• math is fun: scalar-vector-matrix.