Circunferencia inscrita e exinscrita

Circunferencia inscrita e exinscritas dun triángulo.

  Lados estendidos do triángulo △ABC

  Circunferencia inscrita (incentro en I)

  Circunf. exinscritas (excentros en J_A, J_B, J_C)

  Ángulos bisectores internos

  Ángulos bisectores externos (formando o triángulo excentral)

En xeometría, a circunferencia inscrita dun triángulo é a círcunferencia máis grande que pode estar contida no triángulo; toca (é tanxente a) os tres lados. O centro da circunferencia é un centro do triángulo chamado incentro do triángulo.

Unha círcunferencia exinscrito do triángulo é unha circunferenia situado fóra do triángulo, tanxente a un dos seus lados e tanxente ás extensións dos outros dous. Cada triángulo ten tres circunferencias exinscritas distintas, cada unha tanxente a un dos lados do triángulo.

O centro da circunferencia inscrita, chamado incentro, pódese atopar como a intersección das tres bisectrices do ángulo interno. O centro dunha circunferencia exinscrita é a intersección da mediatriz interna dun ángulo (no vértice A, por exemplo) e as mediatrices externas dos outros dous. O centro desta excircunferencia chámase excentro relativo ao vértice A, ou excentro de A. Como a mediatriz interna dun ángulo é perpendicular á súa mediatriz externa, dedúcese que o centro da circunferencia xunto cos tres centros da circunferencia forman un sistema ortocéntrico.

Circunferencia inscrita e incentro

Supoñamos que $\triangle ABC$ ten unha circunferencia inscrita con raio $r$ e centro $I$. Sexa $a$ a lonxitude de ${\overline {BC}}$, $b$ a lonxitude de ${\overline {AC}}$, e $c$ a lonxitude de ${\overline {AB}}$. Tamén sexan $T_{A}$, $T_{B}$, e $T_{C}$ os puntos de contacto onde a circunferencia inscrita toca os lados ${\overline {BC}}$, ${\overline {AC}}$, e ${\overline {AB}}$ .

Incentro

O incentro é o punto onde se atopan as bisectrices dos ángulos internos $\angle ABC,\angle BCA,{\text{ e }}\angle BAC$.

A distancia do vértice $A$ ao incentro $I$ é:

$d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.$

Coordenadas trilineares

As coordenadas trilineares dun punto do triángulo son a razón de todas as distancias aos lados do triángulo. Como o incentro está á mesma distancia de todos os lados do triángulo, as coordenadas trilineares do incentro son

$\ 1:1:1.$

Coordenadas baricéntricas

As coordenadas baricéntricas dun punto nun triángulo dan pesos tal que o punto é a media ponderada das posicións dos vértices do triángulo. As coordenadas baricéntricas para o incentro veñen dadas por

$\ a:b:c$

onde $a$, $b$, e $c$ son as lonxitudes dos lados do triángulo, ou de forma equivalente (usando a lei dos senos)

$\sin A:\sin B:\sin C$

onde $A$, $B$, e $C$ son os ángulos nos tres vértices.

Coordenadas cartesianas

As coordenadas cartesianas do incentro son unha media ponderada das coordenadas dos tres vértices usando as lonxitudes dos lados do triángulo en relación ao perímetro (é dicir, usando as coordenadas baricéntricas indicadas anteriormente, normalizadas á unidade) como pesos. Os pesos son positivos polo que o incentro está dentro do triángulo como se indicou anteriormente. Se os tres vértices están situados en $(x_{a},y_{a})$, $(x_{b},y_{b})$, e $(x_{c},y_{c})$, e os lados opostos a estes vértices teñen lonxitudes correspondentes $a$, $b$, e $c$, entón o incentro está en 

$\left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.$

Raio

O inraio $r$ da circunferencia inscrita nun triángulo con lados de lonxitude $a$, $b$, $c$ está dado por

$r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},$

onde $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ é o semiperímetro.

Os puntos de tanxencia da circunferencia inscrita dividen os lados en segmentos de lonxitude $s-a$ dende $A$, $s-b$ dende $B$, e $s-c$ dende $C$.

Vexa a fórmula de Heron.

Distancias aos vértices

Denotando o incentro de $\triangle ABC$ como $I$, as distancias do incentro aos vértices combinadas coas lonxitudes dos lados do triángulo obedecen á ecuación

${\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.$

A maiores,

${\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},$

onde $R$ e $r$ son o circunraio e o inraio do triángulo respectivamente.

Circunferencia inscritas e as súas propiedades do seu raio

Distancias entre o vértice e os puntos de contacto máis próximos

As distancias dun vértice aos dous puntos de contacto máis próximos son iguais; por exemplo:

$d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=s-a.$

Outras propiedades

Se as alturas dos lados de lonxitudes $a$, $b$, e $c$ son $h_{a}$, $h_{b}$, e $h_{c}$, daquela o inraioi $r$ é un terzo da media harmónica destas alturas; é dicir,

$r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.$

O produto do raio da circunferencia $r$ e o raio da circunferencia $R$ dun triángulo con lados $a$, $b$, e $c$ é

$rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.$

Algunhas relacións entre os lados, o raio da circunferencia inscrita e o raio da circunferencia dircunscrita son:

${\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}$

Calquera liña a través dun triángulo que divide tanto a área do triángulo como o seu perímetro pola metade pasa polo incentro do triángulo (o centro da súa circunferencia inscrita). Hai un, dous ou tres destes para calquera triángulo dado.

Indicando o centro da circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ como $I$, temos

${\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1$

e

${\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2}.$

O raio do circunferencia inscrita non é maior que a novena parte da suma das alturas.

A distancia ao cadrado do incentro $I$ ao circuncentro $O$ vén dada por

${\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]$

e a distancia do incentro ao centro $N$ da circunferencia de nove puntos é

${\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.$

O incentro sitúase no triángulo medial (cuxos vértices son os puntos medios dos lados).

Triángulo e punto de Gergonne

  Triángulo △ABC

  Circunferencia inscrita (incentro en I)

  Triángulo do contacto △T_AT_BT_C

  Liñas entre vertices opostos de △ABC e △T_AT_BT_C (concurrren no punto de Gergonne G_e)

O triángulo de Gergonne (de $\triangle ABC$ ) defínese polos tres puntos de contacto da circunferencia inscrita nos tres lados. O punto de contacto oposto $A$ denotase $T_{A}$, etc.

Este triángulo de Gergonne, $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$, tamén se coñece como triángulo de contacto de $\triangle ABC$. A súa área é $$K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}$$

onde $K$, $r$, e $s$ son a área, o raio da circunferencia inscrita e o semiperímetro do triángulo orixinal e $a$, $b$, e $c$ son as lonxitudes dos lados do triángulo orixinal. Esta é a mesma área que a do triángulo extanxente .

As tres liñas $AT_{A}$, $BT_{B}$ e $CT_{C}$ córtanse nun único punto chamado punto de Gergonne, denotado como $G_{e}$ (ou centro do triángulo X₇). O punto de Gergonne atópase no disco ortocentroidal aberto perforado no seu propio centro, e pode ser calquera punto do mesmo.

O punto de Gergonne dun triángulo ten unha serie de propiedades, incluíndo que é o punto simediano do triángulo de Gergonne.

Circunferencias exinscritas e excentros

  Lados estendidos de △ABC

  Circunferencia inscrita, (incentro en I)

  Circunfs. exinscritas (excentros en J_A, J_B, J_C)

  Ángulos bisectores internos

  Ángulos bisectores externos (formando o triángulo excentral)

Unha circunferencia exinscrita do triángulo é unha circunferencia situada fóra do triángulo, tanxente a un dos seus lados e tanxente ás extensións dos outros dous. Cada triángulo ten tres circunferencias distintas, cada unha tanxente a un dos lados do triángulo.

O centro dunha circunferencia exinscrita é a intersección da mediatriz interna dun ángulo (no vértice $A$, por exemplo) e as mediatrices externas das outras dúas. O centro desta circunferencia chámase excentro en relación ao vértice $A$, ou o excentro de $A$. Dado que a mediatriz interna dun ángulo é perpendicular á súa mediatriz externa, dedúcese que o centro da circunferencia inscrita xunto cos tres centros das circunferencia exinscritas forman un sistema ortocéntrico.

Coordenadas trilineares dos excentros

Mentres que o incentro de $\triangle ABC$ ten coordenadas trilineares $1:1:1$, as dos excentros son 

${\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-1&:&1&:&1\\J_{B}=&1&:&-1&:&1\\J_{C}=&1&:&1&:&-1\end{array}}$

Exraios

Os raios das circunferencias exinscritas chámanse exraios.

O exraio da circunferencia exinscrita oposta a $A$ (tocando $BC$, centrado en $J_{A}$) é

$r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},$ onde $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).$

Triángulo de Nagel e punto de Nagel

  Lados estendidos do triángulo △ABC

  Cirs. exinscritas △ABC (tanxentes en T_A. T_B, T_C)

  Triángulo extratanxente de Nagel △T_AT_BT_C

  Divisores: liñas ligando vertices opostos de △ABC e △T_AT_BT_C (concurren no punto de Nagel N)

O triángulo de Nagel ou triángulo extratanxente de $\triangle ABC$ denotado polos vértices $T_{A}$, $T_{B}$, e $T_{C}$ que son os tres puntos onde as circunferencia exinscritas tocan a $\triangle ABC$ e onde $T_{A}$ é oposto a $A$, etc. Este triángulo $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$ tamén se coñece como o triángulo extratanxente de $\triangle ABC$. A circunferencia circunscrita do triángulo extratanxente $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$ chámase circunferencia de Mandart . 

Os tres segmentos de liña ${\overline {AT_{A}}}$, ${\overline {BT_{B}}}$ e ${\overline {CT_{C}}}$ chámanse os divisores do triángulo; cada un deles xunto ao lado bisecan o perímetro do triángulo,

${\overline {AB}}+{\overline {BT_{A}}}={\overline {AC}}+{\overline {CT_{A}}}={\frac {1}{2}}\left({\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {AC}}\right).$

Os divisores crúzanse nun único punto, o punto de Nagel do triángulo $N_{a}$ (ou centro do triángulo X₈).

As coordenadas trilineares dos vértices do triángulo extratanxente veñen dadas por 

${\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}$

As coordenadas trilineares para o punto de Nagel veñen dadas por 

$\csc ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {C}{2}},$

ou, equivalentemente, pola Lei dos Senos,

${\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}.$

O punto de Nagel é o conxugado isotómico do punto de Gergonne.

Construcións relacionadas

Circunferencia de nove puntos e punto de Feuerbach

A circunferencia de nove puntos é tanxente á circunferencia inscrita e ás circunferencias exinscritas

En xeometría, a circunferencia de nove puntos é unha circunferencia que se pode construír para calquera triángulo dado. Chámase así porque pasa por nove puntos concíclicos significativos definidos a partir do triángulo. Estes nove puntos son:

• O punto medio de cada lado do triángulo
• O pé de cada altura
• O punto medio do segmento de liña desde cada vértice do triángulo ata o ortocentro (onde se atopan as tres alturas; estes segmentos de liña sitúanse nas súas respectivas alturas).

En 1822, Karl Feuerbach descubriu que a circunferencia de nove puntos de calquera triángulo é tanxente externamente ás tres circunferencias exinscritas dese triángulo e tanxente internamente á súa circunferencia inscrita; este resultado coñécese como teorema de Feuerbach.

O centro do triángulo no que se tocan a circunferencia inscrita e a circunferencia de nove puntos chámase punto de Feuerbach.

Teorema de Euler

O teorema de Euler estabelece que nun triángulo: $$(R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},$$

onde $R$ e $r$ son o circunraio e o inraio respectivamente, e $d$ é a distancia entre o circuncentro e o incentro.

Para as circunferencias exinscritas a ecuación é semellante: $$\left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2}.$$

Véxase tamén

Bibliografía

• Altshiller-Court, Nathan (1925). College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.). New York: Barnes & Noble. LCCN 52013504. 
• Johnson, Roger A. (1929). "X. Inscribed and Escribed Circles". Modern Geometry. Houghton Mifflin. pp. 182–194. 
• Kay, David C. (1969). College Geometry. New York: Holt, Rinehart and Winston. LCCN 69012075. 
• Kimberling, Clark (1998). "Triangle Centers and Central Triangles". Congressus Numerantium (129): i–xxv,1–295. 
• Kiss, Sándor (2006). "The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles". Forum Geometricorum (6): 171–177. 

Outros artigos

• Circunferencia de nove puntos.
• Circunferencia circunscrita.
• Potencia dun punto.

Ligazóns externas

• Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
• Weisstein, Eric W. "Incircle". MathWorld. 
• Triangle incenter   Triangle incircle  Incircle of a regular polygon Con animacións interactivas