Circunferencia circunscrita

En xeometría, o círcunferencia circunscrita dun triángulo é unha circunferencia que pasa polos tres vértices. O centro deste circunferencia chámase circuncentro do triángulo e o seu raio chámase circunrraio. O circuncentro é o punto de intersección entre as tres mediatrices dos lados do triángulo, e é un centro do triángulo.

De forma máis xeral, un polígono de $n$ lados con todos os seus vértices na mesmo circunferencia, tamén chamada circunferencia circunscrita, chámase polígono cíclico ou, no caso especial $n = 4$ , cuadrilátero cíclico. Todos os rectángulos, trapecios isósceles, deltoide recto e polígonos regulares son cíclicos.

Construción con regra e compás

O circuncentro dun triángulo pódese construír trazando dúas das tres mediatrices. Para tres puntos non colineares, estas dúas liñas non poden ser paralelas e o circuncentro é o punto onde se cruzan. Calquera punto da mediatriz é equidistante dos dous puntos que corta, polo que se segue que este punto, en ambas as mediatrices, é equidistante dos tres vértices do triángulo. O circunraio é a distancia desde el a calquera dos tres vértices.

Ecuacións da circunferencia circunscrita

Coordenadas cartesianas

No plano euclidiano, é posíbel dar explicitamente unha ecuación da circunferencia en termos das coordenadas cartesianas dos vértices do triángulo inscrito. Supoñamos que

{\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}

son as coordenadas dos puntos $A, B, C$ . A circunferenia circunscrita é logo o lugar xeométrico dos puntos $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y})$ no plano cartesiano satisfacendo as ecuacións

{\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}

garantindo que os puntos $A, B, C, v$ están todos á mesma distancia $r$ do centro común $\mathbf {u}$ da circunferenia. Usando a identidade de polarización, estas ecuacións redúcense á condición de que a matriz

{\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}

ten un kernel distinto de cero. Así, a circunferenia circunscrita pódese describir alternativamente como o lugar dos ceros do determinante desta matriz:

\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.

Usando o teorema de Laplace, temos

{\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}

entón temos $a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0$ onde $\mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),$ e, supoñendo que os tres puntos non estaban nunha liña, $\left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},$ dando o circuncentro ${\tfrac {\mathbf {S} }{a}}$ e o circunraio ${\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.$ Un enfoque similar permite deducir a ecuación da circunsfera dun tetraedro.

Ecuación paramétrica

Un vector unitario perpendicular ao plano que contén a circunferenia circunscrita vén dado por

{\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.

Polo tanto, dado o raio, $r$ , centro, $P c$ , un punto na circunferenia circunscrita, $P 0$ e unha unidade normal do plano que contén o circunferenia, ${\widehat {n}},$ unha ecuación paramétrica do círculo que comeza desde o punto $P 0$ e continúa nun sentido orientado positivamente (é dicir, pola dereita) sobre ${\widehat {n}}$ é o seguinte:

\mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].

Coordenadas trilineares e baricéntricas

Unha ecuación para a circunferenia circunscrita en coordenadas trilineares $x : y : z$ é^[1] ${\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.$ Unha ecuación para o circunferenia circunscrita en coordenadas baricéntricas $x : y : z$ é ${\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0.$

O conxugado isogonal da circunferencia é a recta no infinito, dada en coordenadas trilineares por $ax+by+cz=0$ e en coordenadas baricéntricas por $x+y+z=0.$

Coordenadas do circuncentro

Coordenadas cartesianas

As coordenadas cartesianas do circuncentro $U=\left(U_{x},U_{y}\right)$ son

{\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}

con

D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,

Coordenadas trilineares

O circuncentro ten coordenadas trilineares ^[2]

\cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma

onde $α, β, γ$ son os ángulos do triángulo.

En termos das lonxitudes dos lados $a, b, c$ , as trilineares son ^[3]

a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).

Coordenadas baricéntricas

O circuncentro ten coordenadas baricéntricas

a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,

onde $a, b, c$ son as lonxitudes das arestas $BC, CA, AB$ do triángulo.

En termos dos ángulos do triángulo $α, β, γ$ , as coordenadas baricéntricas do circuncentro son ^[3]

\sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .

Situación relativa ao triángulo

A posición do circuncentro depende do tipo de triángulo:

Para un triángulo agudo (todos os ángulos son máis pequenos que un ángulo recto), o circuncentro sempre está dentro do triángulo.
Para un triángulo rectángulo, o circuncentro sempre está no punto medio da hipotenusa. Esta é unha das formas do teorema de Thales.
Para un triángulo obtuso (un triángulo cun ángulo máis grande que un ángulo recto), o circuncentro sempre está fóra do triángulo.

Ángulos

Os ángulos que forma a circunferenia circunscrita cos lados do triángulo coinciden cos ángulos nos que se atopan os lados. O ángulo oposto $α$ atópase coa circunferenia dúas veces: unha en cada extremo; en cada caso con ángulo $α$ (de xeito similar para os outros dous ángulos). Isto débese ao teorema do segmento alterno, que afirma que o ángulo entre a tanxente e a corda é igual ao ángulo do segmento alterno.

Centros do triángulo da circunferenia circunscrita

Nesta sección, os ángulos dos vértices están etiquetados como $A, B, C$ e todas as coordenadas son coordenadas trilineares:

Punto de Steiner: o punto de intersección non vértice do circunferenia circunscrita coa elipse de Steiner.

{\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}

(A elipse de Steiner, con centro = centroide (

ABC

), é a elipse de menor área que pasa por

A, B, C

. Unha ecuación para esta elipse é

{\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0

.)

Point de Tarrry : antípoda do punto de Steiner

\sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )

Foco da parábola de Kiepert:

\csc(B-C):\csc(C-A):\csc(A-B).

Outras propiedades

O diámetro da circunferencia circunscrita, chamado circundiámetro e igual ao duplo do raio circunscrito, pódese calcular como a lonxitude de calquera lado do triángulo dividida polo seno do ángulo oposto:

{\text{diametro}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.

Como consecuencia da lei dos senos, non importa que lado e ángulo oposto se tomen: o resultado será o mesmo.

O diámetro da circunferencia circunscrita tamén se pode expresar como

{\begin{aligned}{\text{diametro}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}

onde $a, b, c$ son as lonxitudes dos lados do triángulo e $s={\tfrac {a+b+c}{2}}$ é o semiperímetro.

A circunferencia de nove puntos do triángulo ten a metade do diámetro da circunferencia circunscrita.

En calquera triángulo dado, o circuncentro é sempre colinear co centroide e o ortocentro. A recta que pasa por todos eles coñécese como recta de Euler.

O conxugado isogonal do circuncentro é o ortocentro.

Segundo o teorema de Euler en xeometría, a distancia entre o circuncentro $O$ e o incentro $I$ é

{\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}},

onde $r$ é o raio da circunferencia inscrita e $R$ é o raio da circunferencia circunscrita; de aí que o circunrraio sexa polo menos o duplo do inraio (desigualdade do triángulo de Euler), con igualdade só no caso equilátero.^[4]

Polígonos cíclicos

Un conxunto de puntos situados na mesma circunferenia chámase concíclicos, e un polígono cuxos vértices son concíclicos chámase polígono cíclico. Todo triángulo é concíclico, mais os polígonos con máis de tres lados non o son en xeral.

Os polígonos cíclicos, especialmente os cuadriláteros cíclicos de catro lados, teñen varias propiedades especiais. En particular, os ángulos opostos dun cuadrilátero cíclico son ángulos suplementarios (que suman 180° ou π radiáns).

Notas

↑ Whitworth, William Allen (1866). Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. Deighton, Bell, and Co. p. 199.
↑ Whitworth (1866).
↑ ^3,0 ^3,1 Part I: Introduction and Centers X(1) – X(1000). O circuncentro está listedo como X(3).
↑ Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," Mathematics Magazine 81(1), February 2008, 58-61.

Véxase tamén

Outros artigos

Ligazóns externas

Derivation of formula for radius of circumcircle of triangle en Mathalino.com
Semi-regular angle-gons and side-gons: respective generalizations of rectangles and rhombi en Dynamic Geometry Sketches, xeometría dinámica interactiva.
Weisstein, Eric W. "Circumcircle", "Cyclic Polygon". MathWorld.
Triangle circumcircle and circumcenter Con animación interactiva
Java applet interactivo para o circumcentro

[WW-1] Whitworth, William Allen (1866). Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. Deighton, Bell, and Co. p. 199.

[FOOTNOTEWhitworth1866-2] Whitworth (1866).

[ck-3] 3,0 ^3,1 Part I: Introduction and Centers X(1) – X(1000). O circuncentro está listedo como X(3).

[Nelson-4] Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," Mathematics Magazine 81(1), February 2008, 58-61.

[1]

[2]

[3]

[4]