Determinante (matemáticas)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Determinante.

A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante da matriz formada polos vectores que represenetan os lados do paralelogramo.

En matemáticas, o determinante é unha ferramenta moi potente en numerosos dominios (estudo de endomorfismos, busca de valores propios, cálculo diferencial). É así como se define o determinante dun sistema de ecuacións, o determinante dun endomorfismo, ou o determinante dun sistema de vectores. Foi introducido inicialmente na álxebra para resolver o problema de determinar o número de solucións dun sistema de ecuacións lineais.

Coma en moitas outras operacións, o determinante pode ser definido por unha colección de propiedades axiomas que se resumen coa expresión «forma n - lineal alternada». Esta definición permite facer un estudo teórico completo e ampliar aínda máis os seus campos de aplicación. Mais o determinante tamén pode concibir como unha xeneralización no espazo de dimensión n da noción de superficie ou de volume orientados. Este aspecto, a miúdo esquecido, é un enfoque práctico e luminoso das propiedades do determinante.

Matriz

O determinante dos vectores X e X' é a superficie azul.

Matematicamente en forma de matriz:

$\det(X,X')={\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}}=xy'-yx'$

A expresión xeométrica equivalente:

$\det(X,X')=\|X\|\cdot \|X'\|\cdot \operatorname {sen} \theta$

onde $\theta$ é o ángulo formado polos vectores $X$ e $X'$.

O determinante dunha matriz 3 × 3 é

${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.$

Por exemplo:

$\det {\begin{pmatrix}3&7\\1&-4\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}3&7\\1&{-4}\end{vmatrix}}=(3\cdot (-4))-(7\cdot 1)=-19.$

$A=\det {\begin{pmatrix}-2&-1&2\\2&1&4\\-3&3&-1\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}-2&-1&2\\2&1&4\\-3&3&-1\end{vmatrix}}=$

$=(-2\cdot 1\cdot (-1))+(-1\cdot 4\cdot (-3))+(2\cdot 2\cdot 3)-(2\cdot 1\cdot (-3))-(-1\cdot 2\cdot (-1))-(4\cdot 3\cdot (-2))=54.$

Propiedades

Os determinantes tamén se poden definir por algunhas das súas propiedades. É dicir, o determinante é a función única definida nas matrices n × n que ten as catro propiedades seguintes:

1. O determinante da matriz identidade é 1.
2. O troco de dúas filas multiplica o determinante por −1.
3. Ao multiplicar unha fila por un número multiplica o determinante por ese número.
4. Engadir un múltiplo dunha fila a outra fila non modifica o determinante.