Endomorfismo

A proxección ortogonal sobre unha liña, m, é un operador linear no plano. Este é un exemplo de endomorfismo que non é un automorfismo.

En matemáticas, un endomorfismo é un morfismo dun obxecto matemático en si mesmo. Cando un endomorfismo é tamén un isomorfismo entón é un automorfismo. Por exemplo, un endomorfismo dun espazo vectorial V é un mapa linear f: V → V. Un endomorfismo dun grupo G é un homomorfismo de grupo f: G → G. En xeral, podemos falar de endomorfismos en calquera categoría . Na categoría de conxuntos, os endomorfismos son funcións desde un conxunto S ata si mesmo.

En calquera categoría, a composición de dous endomorfismos de X é de novo un endomorfismo de X. De aquí segue que o conxunto de todos os endomorfismos de X forma un monoide, o monoide de transformación completa, denotado End(X) (ou End_C(X) para destacar a categoría C).

Automorfismos

Un endomorfismo invertible de X chámase automorfismo. O conxunto de todos os automorfismos é un subconxunto de End(X) cunha estrutura de grupo, chamado grupo de automorfismos de X e denotado Aut(X).

Aneis de endomorfismos

Dous endomorfismos calquera dun grupo abeliano, A, pódense sumar pola regra (f + g)(a) = f(a) + g(a). Baixo esta suma, e coa multiplicación definida como composición de funcións, os endomorfismos dun grupo abeliano forman un anel (o anel de endomorfismos). Por exemplo, o conxunto de endomorfismos de $\mathbb {Z} ^{n}$ é o anel de todas as matrices n × n con entradas nos números enteiros. Os endomorfismos dun espazo vectorial ou módulo tamén forman un anel, do mesmo xeito que os endomorfismos de calquera obxecto nunha categoría preaditiva. Os endomorfismos dun grupo non abeliano xeran unha estrutura alxébrica coñecida como un anel próximo.

Teoría de operadores

En calquera categoría concreta, especialmente para espazos vectoriais, os endomorfismos son mapas dun conxunto en si mesmo, e poden interpretarse como operadores unarios sobre ese conxunto, que actúan sobre os elementos e permiten definir a noción de órbitas de elementos, etc.

Dependendo da estrutura adicional definida para a categoría en cuestión (topoloxía, métrica, ...), ditos operadores poden ter propiedades como continuidade, límites, etc.

Endofuncións

Unha endofunción é unha función cuxo dominio é igual ao seu codominio.

Sexa S un conxunto arbitrario. Entre as endofuncións en S atópanse as permutacións de S e as funcións constantes que asocian a cada x en S o mesmo elemento c en S. Toda permutación de S ten o codominio igual ao seu dominio e é bixectiva e invertible. Se S ten máis dun elemento, unha función constante en S ten unha imaxe que é un subconxunto propio do seu codominio e, polo tanto, non é bixectiva (e, polo tanto, non é invertible). A función que asocia a cada número natural n a función chan de n/2 ten a súa imaxe igual ao seu codominio e non é invertible.

Exemplos particulares de endofuncións bixectivas son as involucións; é dicir, as funcións coincidentes coas súas inversas.

Véxase tamén

Bibliografía

• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. 

Outros artigos

• Endomorfismo adxunto
• Epimorfismo (homomorfismo sobrexectivo)
• Endomorfismo de Frobenius
• Monomorfismo (homomorphism inxectivo)

Ligazóns externas

• "Endomorphism". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].