Imaxe (matemáticas)

Para a función que relaciona unha persoa coa súa comida favorita, a imaxe de Gabriela é mazá (apple). A preimaxe de mazá é o conxunto {Gabriela, Maryam}. A preimaxe de peixe (fish) é o conxunto baleiro. A imaxe do subconxunto {Richard, Maryam} é {arroz (Rice), mazá (Apple)}. A preimaxe de {arroz (Rice), mazá (Apple)} é {Gabriela, Richard, Maryam}.

En matemáticas, para unha función $f:X\to Y$, a imaxe dun valor de entrada $x$ é o valor de saída producido por $f$ cando se aplica a $x$. A preimaxe dun valor de saída $y$ é o conxunto de valores do dominio que producen $y$.

Xeneralizando, avaliar $f$ para cada elemento dun subconxunto dado $A$ do seu dominio $X$ produce un conxunto chamado "imaxe de $A$ baixo $f$". De xeito semellante, a imaxe inversa (ou preimaxe) dun subconxunto dado $B$ do codominio $Y$ é o conxunto de todos os elementos de $X$ que producen un elemento de $B.$

A imaxe da función $f$ é o conxunto de todos os valores de saída que pode producir, é dicir, a imaxe de $X$. A preimaxe de $f$, é dicir, a preimaxe de $Y$ baixo $f$, é igual a $X$ (o dominio de $f$); por iso, este último concepto apenas se emprega.

A imaxe e a imaxe inversa poden definirse tamén para relacións binarias, non só para funcións.

$f$ é unha función do dominio $X$ no codominio $Y.$ O óvalo amarelo por dentro de $Y$ é a imaxe de $f.$

Definición

A palabra "imaxe" úsase de tres formas relacionadas. Nestas definicións, $f:X\to Y$ é unha función do conxunto $X$ no conxunto $Y$.

Imaxe dun elemento

Se $x$ é membro de $X,$ entón a imaxe de $x$ baixo $f,$ denotado como $f(x),$ é o valor de $f$ cando se aplica a $x.$ $f(x)$ coñécese alternativamente como a saída de $f$ para o argumento $x$.

Dado $y,$ a función $f$ dise que toma o valor y se existe algún $x$ no dominio da función tal que $f(x)=y$.

Imaxe dun subconxunto

Sexa $f:X\to Y$ unha función. A imaxe baixo $f$ dun subconxunto $A$ de $X$ é o conxunto de tódolos $f(a)$ para $a\in A.$ Desígnase por $f[A],$ ou por $f(A),$ cando non hai risco de confusión. Esta definición pódese escribir como $$f[A]=\{f(a):a\in A\}.$$

Imaxe dunha función

A imaxe dunha función é a imaxe de todo o seu dominio, tamén coñecida como o rango da función. Este último uso debería evitarse porque a palabra "rango" tamén se usa habitualmente para significar o codominio de $f$.

Xeneralización a relacións binarias

Se $R$ é unha relación binaria arbitraria en $X\times Y,$ entón o conxunto $\{y\in Y:xRy$ para algún $x\in X\}$ chámase imaxe ou rango de $R.$ Dualmente, o conxunto $\{x\in X:xRy$ para algún $y\in Y\}$ chámase dominio de $R.$

Preimaxe ou imaxe inversa

Sexa $f$ unha función de $X$ en $Y.$ A preimaxe ou imaxe inversa dun conxunto $B\subseteq Y$ baixo $f,$ denotado como $f^{-1}[B],$ é o subconxunto de $X$ definido por$$f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.$$Por exemplo, para a función $f(x)=x^{2},$ a preimaxe de $\{4\}$ sería $\{-2,2\}.$ Se non hai risco de confusión, $f^{-1}[B]$ pode denotarse por $f^{-1}(B)$. A notación $f^{-1}$ non se debe confundir coa de función inversa, aínda que coincide coa habitual das bixeccións en que a imaxe inversa de $B$ baixo $f$ é a imaxe de $B$ baixo $f^{-1}.$

Exemplos

• $f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ definido por $\left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.$

A imaxe do conxunto $\{2,3\}$ baixo $f$ é $f(\{2,3\})=\{a,c\}.$ A imaxe da función $f$ é $\{a,c\}.$ A preimaxe de $a$ é $f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.$ A preimaxe de $\{a,b\}$ é tamén $f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.$ A preimaxe de $\{b,d\}$ baixo $f$ é o conxunto baleiro $\{\ \}=\emptyset .$

• $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definido por $f(x)=x^{2}.$

A imaxe of $\{-2,3\}$ baixo $f$ é $f(\{-2,3\})=\{4,9\},$ e a imaxe de $f$ é $\mathbb {R} ^{+}$ (o conxunto de todos os números reais positivos e cero). A preimaxe de $\{4,9\}$ baixo $f$ é $f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.$ A preimaxe do conxunto $N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}$ baixo $f$ é o conxunto baleiro, porque os números negativos non teñen raíz cadrada nos reais.

• $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ definido por $f(x,y)=x^{2}+y^{2}.$

As fibras $f^{-1}(\{a\})$ son circunferencias concéntricas aorredor da orixe, a propia orixe e o conxunto baleiro, dependdendo do valor de a, se$a>0,\ a=0,{\text{ or }}\ a<0$ (respectively). (No caso de $a\geq 0,$ daquela a fibra $f^{-1}(\{a\})$é o conxunto de todos os $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ que satisfán a ecuación $x^{2}+y^{2}=a,$ isto é, as circunferencias centradas na orixe con raio ${\sqrt {a}}.$)

• Se $M$ é unha variedade e $\pi :TM\to M$ e a proxección canónica desde fibrado tanxente $TM$ en $M,$ entón as fibras de $\pi$ son os espazos tanxentes $T_{x}(M){\text{ para }}x\in M.$ isto é tamén un exemplo de fibrado tanxente.
• Un grupo cociente é unha imaxe homomorfa.

Véxase tamén

Bibliografía

• Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9. 
• Blyth, T.S. (2005). Lattices and Ordered Algebraic Structures. Springer. ISBN 1-85233-905-5. .

• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. ISBN 9780442030643. Zbl 0087.04403. 
• Kelley, John L. (1985). General Topology. Graduate Texts in Mathematics 27 (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.