Grupo cociente

Un grupo cociente é un grupo matemático que se obtén ao agregar elementos semellantes dun grupo maior mediante unha relación de equivalencia que preserva parte da estrutura do grupo (o resto da estrutura é "factorizada"). Por exemplo, o grupo cíclico de adición módulo n pódese obter a partir do grupo de enteiros baixo adición identificando elementos que difiren por un múltiplo de $n$ e definir unha estrutura de grupo que opera en cada unha destas clases (coñecida como clase de congruencia) como unha única entidade. Forma parte do campo matemático coñecido como teoría de grupos.

Para unha relación de equivalencia nun grupo, a clase de equivalencia do elemento de identidade é sempre un subgrupo normal do grupo orixinal, e as outras clases de equivalencia son precisamente as coclases dese subgrupo normal. O cociente resultante escríbese $G\,/\,N$ onde $G$ é o grupo orixinal e $N$ é o subgrupo normal. Isto lese como $G{\bmod {N}}$, onde ${\mbox{mod}}$ é a abreviatura de módulo. A notación $G\,/\,H$ debe interpretarse con cautela, xa que algúns autores a utilizan con certos matices.

Gran parte da importancia dos grupos cocientes derívase da súa relación cos homomorfismos. O primeiro teorema de isomorfismo afirma que a imaxe de calquera grupo G baixo un homomorfismo é sempre isomorfa a un cociente de $G$. En concreto, a imaxe de $G$ baixo un homomorfismo $\varphi :G\rightarrow H$ é isomorfo a $G\,/\,\ker(\varphi )$ onde $\ker(\varphi )$ denota o kernel de $\varphi$.

Definición

Conceptos previos

Dado un grupo $G$ e un subgrupo $H$, e un elemento fixo $a\in G$, pódese considerar a coclase pola esquerda correspondente: ⁠ $G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}$.

As coclases son unha clase natural de subconxuntos dun grupo; por exemplo, considere o grupo abeliano G de enteiros, coa operación definida pola suma habitual, e o subgrupo $H$ de enteiros pares. Daquela hai exactamente dúas clases: $0+H$, que son os enteiros pares, e $1+H$, que son os enteiros impares (aquí estamos a usar a notación de suma para a operación binaria en lugar da notación multiplicativa).

Para un subgrupo $H$, é desexable definir unha operación de grupo compatible no conxunto de todas as coclases posibles ⁠ $\left\{aH:a\in G\right\}$. Isto é posible exactamente cando $H$ é un subgrupo normal. Un subgrupo $N$ dun grupo $G$ é normal se e só se a igualdade de coclases $aN=Na$ cúmprese para todo $a\in G$. Un subgrupo normal de $G$ denótase $N$.

Definición

Sexa $N$ un subgrupo normal dun grupo $G$. Definimos o conxunto $G\,/\,N$ como o conxunto de todas as coclases esquerdas de $N$ en $G$. É dicir $G\,/\,N=\left\{aN:a\in G\right\}$.

Dado que o elemento de identidade $e\in N$, $a\in aN$. Definimos unha operación binaria no conxunto de coclases, $G\,/\,N$, como segue. Para cada $aN$ e $bN$ en $G\,/\,N$, o produto de $aN$ e $bN$, $(aN)(bN)$, é $(ab)N$. Isto só funciona porque $(ab)N$ non depende da escolla dos representantes, $a$ e $b$, de cada coclase esquerda, $aN$ e $bN$. Para demostralo, supoña $xN=aN$ e $yN=bN$ para algúns $x,y,a,b\in G$. Daquela

${\textstyle (ab)N=a(bN)=a(yN)=a(Ny)=(aN)y=(xN)y=x(Ny)=x(yN)=(xy)N}$.

Isto é debido a que $N$ é un subgrupo normal. Aínda fica por demostrar que esta condición non só é suficiente senón necesaria para definir a operación en $G\,/\,N$.

Para demostrar que é necesaria, considérase que para un subgrupo $N$ de $G$, deuse que a operación está ben definida. É dicir, para todos os $xN=aN$ e $yN=bN$, con $x,y,a,b\in G,\;(ab)N=(xy)N$.

Sexa $n\in N$ e $g\in G$. Posto que $eN=nN$ temos$gN=(eg)N=(eN)(gN)=(nN)(gN)=(ng)N$

Agora, $gN=(ng)N\Leftrightarrow N=(g^{-1}ng)N\Leftrightarrow g^{-1}ng\in N,\;\forall \,n\in N$ $g\in G$

Daí que $N$ é un subgrupo normal de $G$.

Tamén se pode comprobar que esta operación en $G\,/\,N$ é sempre asociativa, $G\,/\,N$ ten elemento identidade $N$ e a inversa do elemento $aN$ sempre pode ser representado por $a^{-1}N$. Polo tanto, o conxunto $G\,/\,N$ xunto coa operación definida por $(aN)(bN)=(ab)N$ forma un grupo, o grupo cociente de $G$ por $N$.

Debido á ser $N$ normal, as coclases esquerda e dereita de $N$ en $G$ son iguais, e así, $G\,/\,N$ podería terse definido como o conxunto de coclases dereitas de $N$ en $G$.

Exemplo: adición módulo 6

Por exemplo, considere o grupo coa operación de suma para os enteiros módulo 6: $G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}$. Considere o subconxunto $N=\left\{0,3\right\}$ o que é normal porque $G$ é abeliano. Daquela o conxunto de coclases (esquerdas) é de tamaño tres:

$G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}$ .

A operación binaria definida anteriormente converte este conxunto nun grupo, coñecido como grupo cociente, que neste caso é isomorfo ao grupo cíclico de orde 3.

Podemos ver que o grupo orixinal deste exemplo xa se podía estabelecer como o grupo cociente dos enteiros módulo 6, escrito como $\mathbb {Z} \,/\,6\mathbb {Z}$, por tanto neste exemplo vemos un grupo cociente doutro grupo cociente.

Exemplos

Restos da división enteira

Considere o grupo de enteiros $\mathbb {Z}$ baixo a suma. Sexa $n$ calquera número enteiro positivo. Consideraremos o subgrupo $n\mathbb {Z}$ de $\mathbb {Z}$ composto por todos os múltiplos de $n$. Unha vez mais $n\mathbb {Z}$ é normal en $\mathbb {Z}$ porque $\mathbb {Z}$ é abeliano. As coclases son a colección $\left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}$. Un número enteiro $k$ pertence á clase $r+n\mathbb {Z}$ onde $r$ é o resto de dividir $k$ por $n$. O cociente $\mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z}$ pódese pensar como o grupo de "restos" módulo $n$. Este é un grupo cíclico de orde $n$.

Raíces enteiras complexas de 1

As coclases das raíces cuartas da unidade N dentro das raíces duodécimas da unidade G. .

As raíces duodécimas da unidade, que son puntos do círculo unitario complexo, forman un grupo abeliano multiplicativo $G$, que se mostra na imaxe da dereita como bólas de cores co número en cada punto que dá o seu argumento complexo. Considere o seu subgrupo $N$ feito das cuartas raíces da unidade, mostradas como bólas vermellas. Este subgrupo normal divide o grupo en tres coclases, mostradas en vermello, verde e azul. Pódese comprobar que as coclases forman un grupo de tres elementos (o produto dun elemento vermello cun elemento azul é azul, o inverso dun elemento azul é verde, etc.). Así, o grupo cociente $G\,/\,N$ é o grupo de tres cores, que resulta ser o grupo cíclico con tres elementos.

Números reais módulo os enteiros

Considere o grupo de números reais $\mathbb {R}$ baixo adición, e o subgrupo $\mathbb {Z}$ de enteiros. Cada coclase de $\mathbb {Z}$ en $\mathbb {R}$ é un conxunto da forma $a+\mathbb {Z}$ onde $a$ é un número real. Posto que $a_{1}+\mathbb {Z}$ e $a_{2}+\mathbb {Z}$ son conxuntos idénticos cando as partes non enteiras de $a_{1}$ e $a_{2}$ son iguais, pódese impoñer a restrición $0\leq a<1$ sen mudar o significado. A suma destes grupos realízase sumando os números reais correspondentes e restando 1 se o resultado é maior ou igual a 1. O grupo cociente $\mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z}$ é isomorfo ao grupo circular, o grupo de números complexos de valor absoluto 1 baixo multiplicación, ou en consecuencia, ao grupo de rotacións en 2D sobre a orixe, é dicir, o grupo ortogonal especial $\mathrm {SO} (2)$. Un isomorfismo vén dado por $f(a+\mathbb {Z} )=e^{2\pi ia}$ (ver a identidade de Euler).

Matrices de números reais

Se $G$ é o grupo de invertibles matrices reais $3\times 3$ ivertíbeis, e $N$ é o subgrupo de $3\times 3$ de matrices reais con determinante 1, daquela $N$ é normal en $G$ (xa que é o kernel do homomorfismo do determinante). As coclases de $N$ son os conxuntos de matrices cun determinado determinante e, polo tanto $G\,/\,N$ é isomorfo ao grupo multiplicativo de números reais distintos de cero. O grupo $N$ coñécese como grupo linear especial $\mathrm {SL} (3)$.

Propiedades

O grupo cociente $G\,/\,G$ é isomorfo ao grupo trivial (o grupo cun elemento) e $G\,/\,\left\{e\right\}$ é isomorfo a $G$.

A orde de $G\,/\,N$, que por definición é o número de elementos, é igual a $\vert G:N\vert$, o índice de $N$ en $G$. Se $G$ é finito, o índice tamén é igual á orde de $G$ dividido pola orde de $N$. O conxunto $G\,/\,N$ pode ser finito, aínda que ambos os dous $G$ e $N$ sexan infinitos (por exemplo, $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$ ).

Hai un homomorfismo de grupo sobrexectivo "natural" $\pi :G\rightarrow G\,/\,N$ enviando cada elemento $g$ de $G$ á coclase de $N$ a que pertence $g$, é dicir: $\pi (g)=gN$ A cartografía $\pi$ ás veces chámase a proxección canónica de $G$ sobre $G\,/\,N$. O seu kernel e $N$.

Hai unha correspondencia bixectiva entre os subgrupos de $G$ que conteñen $N$ e os subgrupos de $G\,/\,N$. Se $H$ é un subgrupo de $G$ que contén $N$, daquela o subgrupo correspondente de $G\,/\,N$ é $\pi (H)$. Esta correspondencia cúmprese para os subgrupos normais de $G$ e $G\,/\,N$ tamén, e formalízase no teorema da correspondencia.

Varias propiedades importantes dos grupos cocientes están recollidas no teorema fundamental dos homomorfismos e nos teoremas do isomorfismo.

Se $G$ é abeliano, nilpotente, solúbel, cíclico ou xerado finitamente, logo tamén o é $G\,/\,N$.

Se $H$ é un subgrupo nun grupo finito $G$ e a orde de $H$ é a metade da orde de $G$ entón $H$ está garantido que é un subgrupo normal, polo tanto $G\,/\,H$ existe e é isomorfo a $\mathrm {C} _{2}$. Este resultado tamén se pode indicar como "calquera subgrupo do índice 2 é normal", e nesta forma aplícase tamén a grupos infinitos. Ademais, se $p$ é o número primo máis pequeno que divide a orde dun grupo finito $G$, daquela se $G\,/\,H$ ten orde $p$, temos que $H$ debe ser un subgrupo normal de $G$ .

Dado $G$ e un subgrupo normal $N$, entón $G$ é unha extensión de grupo de $G\,/\,N$ por $N$. Poderíase preguntar se esta extensión é trivial ou subdividida (split); noutras palabras, pódese preguntar se $G$ é un produto directo ou un produto semidirecto de $N$ e $G\,/\,N$. Este é un caso especial do problema da extensión. Un exemplo onde a extensión non está subdividida é o seguinte: Sexa $G=\mathrm {Z} _{4}=\left\{0,1,2,3\right\}$ e $N=\left\{0,2\right\}$, que é isomorfo a $\mathrm {Z} _{2}$. Entón $G\,/\,N$ tamén é isomorfo a $\mathrm {Z} _{2}$. Pero $\mathrm {Z} _{2}$ só ten o automorfismo trivial, polo que o único produto semidirecto de $N$ e $G\,/\,N$é o produto directo. Como $\mathrm {Z} _{4}$ é diferente de $\mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}$, chegamos á conclusión de que $G$ non é un produto semidirecto de $N$ e $G\,/\,N$.

Cocientes dos grupos de Lie

Se $G$ é un grupo de Lie e $N$ é un subgrupo de Lie normal e pechado (no sentido topolóxico e non alxébrico da palabra) de $G$, daquela o cociente $G\,/\,N$ tamén é un grupo de Lie. Neste caso, o grupo orixinal $G$ ten a estrutura dun fibrado (especificamente, un fibrado N-principal), con espazo base $G\,/\,N$ e fibra $N$. A dimensión de $G\,/\,N$ é igual a $\dim G-\dim N$

Teña en conta que a condición de que $N$ sexa pechado é necesaria. En efecto, se $N$ non é pechado, entón o espazo cociente non é un espazo T1 (xa que hai unha coclase no cociente que non se pode separar da identidade por un conxunto aberto), e polo tanto non é un espazo de Hausdorff.

Para un subgrupo de Lie non normal $N$, o espazo $G\,/\,N$ de coclases pola esquerdas non é un grupo, senón simplemente unha variedade diferenciable na que actúa $G$. O resultado coñécese como espazo homoxéneo.

Véxase tamén

Bibliografia

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003). Abstract Algebra (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. 
• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (2nd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-02371-X. 

Outros artigos

• Subgrupo normal
• Coclase
• Extensión de grupo
• Categoría cociente
• Secuencia exacta

Ligazóns externas

• Brilliant Math & Science Wiki: grupo cociente.
• Mathematics LibreTexts: grupo cociente