Índice dun subgrupo

En matemáticas, especificamente na teoría de grupos, o índice dun subgrupo H nun grupo G é o número de coclases esquerdas de H en G, ou equivalentemente, o número de coclases dereitas de H en G. Indícase o índice como $|G:H|$ ou $[G:H]$ ou $(G:H)$. Debido a que G é a unión disxunta das coclases esquerdas e porque cada coclase esquerda ten o mesmo tamaño que H, o índice está relacionado coas ordes dos dous grupos mediante a fórmula

$|G|=|G:H||H|$

(interprete as cantidades como números cardinais se algunhas delas son infinitas). Así o índice $|G:H|$ mide os "tamaños relativos" de G e H.

Por exemplo, sexa $G=\mathbb {Z}$ o grupo de enteiros baixo a suma, e sexa $H=2\mathbb {Z}$ o subgrupo formado polos enteiros pares. Daquela $2\mathbb {Z}$ ten dúas coclases en $\mathbb {Z}$, é dicir, o conxunto de enteiros pares e o conxunto de enteiros impares, polo que o índice $|\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |$ é 2. De forma máis xeral, $|\mathbb {Z} :n\mathbb {Z} |=n$ para calquera número enteiro positivo n.

Cando G é finito, a fórmula pódese escribir como $|G:H|=|G|/|H|$, e implica o teorema de Lagrange que $|H|$ divide a $|G|$.

Cando G é infinito, $|G:H|$ é un número cardinal distinto de cero que pode ser finito ou infinito. Por exemplo, $|\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |=2$, mais $|\mathbb {R} :\mathbb {Z} |$ é infinito.

Se N é un subgrupo normal de G, entón $|G:N|$ é igual á orde do grupo cociente $G/N$, xa que o conxunto subxacente de $G/N$ é o conxunto de coclases de N en G.

Propiedades

• Se H é un subgrupo de G e K é un subgrupo de H, daquela

$|G:K|=|G:H|\,|H:K|.$

• Se H e K son subgrupos de G, daquela

$|G:H\cap K|\leq |G:H|\,|G:K|,$

con igualdade se $HK=G$ . (Se $|G:H\cap K|$ é finito, entón a igualdade vale se e só se $HK=G$).

• De forma equivalente, se H e K son subgrupos de G, daquela

$|H:H\cap K|\leq |G:K|,$

con igualdade se $HK=G$ . (Se $|H:H\cap K|$ é finito, entón a igualdade vale se e só se $HK=G$).

• Se G e H son grupos e $\varphi \colon G\to H$ é un homomorfismo, daquela o índice do kernel de $\varphi$ en G é igual á orde da imaxe:

$|G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.$

• Sexa G un grupo que actúa sobre un conxunto X, e sexa x ∈ X. Entón a cardinalidade da órbita de x baixo G é igual ao índice do estabilizador de x:

$|Gx|=|G:G_{x}|.\!$

Isto coñécese como o teorema do estabilizador de órbita.

• Como caso especial do teorema do estabilizador de órbita, o número de conxugados $gxg^{-1}$ dun elemento $x\in G$ é igual ao índice do centralizador de x en G.
• Do mesmo xeito, o número de conxugados $gHg^{-1}$ dun subgrupo H en G é igual ao índice do normalizador de H en G .
• Se H é un subgrupo de G, o índice do corazón normal de H satisfai a seguinte desigualdade:

$|G:\operatorname {Core} (H)|\leq |G:H|!$

onde ! denota a función factorial.

• Como corolario, se o índice de H en G é 2, ou para un grupo finito o primo máis baixo p que divide a orde de G, entón H é normal, xa que o índice do seu corazón tamén debe ser p e, polo tanto, H é igual ao seu corazón, é dicir, é normal.
• Teña en conta que é posible que non exista un subgrupo do índice primo máis baixo, como en calquera grupo simple de orde non prima ou, de xeito máis xeral, en calquera grupo perfecto .

Exemplos

• O grupo alterno $A_{n}$ ten índice 2 no grupo simétrico $S_{n},$ e por tanto é normal.
• O grupo ortogonal especial $\operatorname {SO} (n)$ ten índice 2 no grupo ortogonal $\operatorname {O} (n)$, e por tanto é normal.
• O grupo abeliano libre $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ ten tres subgrupos de índice 2, a saber

$\{(x,y)\mid x{\text{ é par}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ é par}}\},\quad {\text{e}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ é par}}\}$ .

• En xeral, se p é primo, entón $\mathbb {Z} ^{n}$ ten $(p^{n}-1)/(p-1)$ subgrupos de índice p, correspondentes aos $(p^{n}-1)$ homomorfismos non triviais $\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ .
• Do mesmo xeito, o grupo libre $F_{n}$ ten $(p^{n}-1)/(p-1)$ subgrupos do índice p.
• O grupo diédrico infinito ten un subgrupo cíclico de índice 2, que é necesariamente normal.

Índice infinito

Se H ten un número infinito de coclases en G, daquela dise que o índice de H en G é infinito. Neste caso, o índice $|G:H|$ é en realidade un número cardinal. Por exemplo, o índice de H en G pode ser contábel ou incontábel, dependendo de se H ten un número contábel de coclases en G. Teña en conta que o índice de H é como máximo a orde de G, que acontece para o subgrupo trivial, ou de feito calquera subgrupo H de cardinalidade infinita menor que a de G.

Índice finito

Un subgrupo H de índice finito nun grupo G (finito ou infinito) sempre contén un subgrupo normal N (de G), tamén de índice finito. De feito, se H ten índice n, entón o índice de N será algún divisor de n! e un múltiplo de n; de feito, N pódese tomar como o núcleo do homomorfismo natural de G no grupo de permutacións das coclases esquerdas (ou dereitas) de H

O índice do subgrupo normal non só ten que ser un divisor de n!, tamén debe satisfacer outros criterios. Dado que o subgrupo normal é un subgrupo de H, o seu índice en G debe ser n veces o seu índice dentro de H . O seu índice en G tamén debe corresponder a un subgrupo do grupo simétrico S_n, o grupo de permutacións de n obxectos. Así, por exemplo, se n é 5, o índice non pode ser 15 aínda que isto divida 5! , porque non hai un subgrupo de orde 15 en S₅.

Unha proba alternativa do resultado de que un subgrupo de índice primo p inferior é normal, e outras propiedades dos subgrupos de índice primo danse en (Lam 2004) .

Exemplos

O grupo O de simetría octaédrica quiral ten 24 elementos. Ten un subgrupo D₄ diédrico (de feito ten tres) de orde 8, e polo tanto de índice 3 en O, que chamaremos H. Este grupo diédrico ten un subgrupo D₂ de 4 membros, que podemos chamar A. Multiplicando pola dereita calquera elemento dunha coclase dereita de H por un elemento de A dá un membro da mesma coclase de H (Hca = Hc). A é normal en O. Hai seis coclases de A, correspondentes aos seis elementos do grupo simétrico S₃. Todos os elementos de calquera coclase particular de A realizan a mesma permutación das coclases de H.

Por outra banda, o grupo T_h de simetría piritoédrica tamén ten 24 membros e un subgrupo de índice 3 (nesta vez é un grupo de simetría prismática D_2h, ver grupos de puntos en tres dimensións), mais neste caso todo o subgrupo é un subgrupo normal. Todos os membros dunha determinada coclase realizan a mesma permutación destas coclases, mais neste caso representan só o grupo alternado de 3 elementos no grupo simétrico S₃ de 6 membros.

Véxase tamén

Bibliografía

• Recoméndase empregar os marcadores   e/ou  .

Outros artigos

• Orde (teoría de grupos).

Ligazóns externas

• Normality of subgroups of prime index at PlanetMath.
• "Subgroup of least prime index is normal" at Groupprops, The Group Properties Wiki