Subgrupo normal

En álxebra abstracta, un subgrupo normal (tamén coñecido como subgrupo invariante ou subgrupo autoconxugado)^[1] é un subgrupo que é invariante baixo a conxugación de membros do grupo do que forma parte. Noutras palabras, un subgrupo $N$ do grupo $G$ é normal en $G$ se e só se $gng^{-1}\in N$ para todos $g\in G$ e $n\in N$ . A notación habitual para esta relación é $N\triangleleft G$ .

Os subgrupos normais son importantes porque eles (e só eles) poden usarse para construír grupos cocientes do grupo dado. Ademais, os subgrupos normais de $G$ son precisamente os kernel dos homomorfismos de grupos con dominio $G$ , o que significa que poden usarse para clasificar internamente eses homomorfismos.

Évariste Galois foi o primeiro en decatarse da importancia da existencia de subgrupos normais.^[2]

Definicións

Un subgrupo $N$ dun grupo $G$ chámase subgrupo normal de $G$ se é invariante baixo a conxugación; é dicir, a conxugación dun elemento de $N$ por un elemento de $G$ sempre está dentro de $N$ .^[3] A notación habitual para esta relación é $N\triangleleft G$ .

Condicións equivalentes

Para calquera subgrupo $N$ de $G$ , as seguintes condicións son equivalentes para $N$ ser un subgrupo normal de $G$ . Polo tanto, calquera delas pode tomarse como definición.

A imaxe da conxugación de $N$ por calquera elemento de $G$ é igual a $N,$ ^[4] é dicir, $gNg^{-1}=N$ para todos os $g\in G$ .
A imaxe da conxugación de $N$ por calquera elemento de $G$ é un subconxunto de $N$ . Evidente polo punto anterior, así nas deduccións é máis simple probar $gNg^{-1}\subseteq N$ para todos os $g\in G$ .
Para todos os $g\in G$ , as coclases esquerda e dereita $gN$ e $Ng$ son iguais.^[4]
Os conxuntos de coclases esquerdas e dereitas de $N$ en $G$ coinciden.^[4]
A multiplicación en $G$ conserva a relación de equivalencia "está na mesma coclase esquerda que". É dicir, para cada $g,g',h,h'\in G$ que satisfaga $gN=g'N$ e $hN=h'N$ , temos $(gh)N=(g'h')N$ .
Existe un grupo no conxunto de coclases esquerdas de $N$ onde a multiplicación de dúas coclases esquerdas calquera $gN$ e $hN$ dá a coclase esquerda $(gh)N$ (este grupo chámase grupo cociente de $G$ módulo $N$ , denotado $G/N$ ).
$N$ é unha unión de clases de conxugación de $G$ .^[2]
$N$ presérvase polos automorfismos internos de $G$ .^[5]
Existe algún homomorfismo de grupo $G\to H$ cuxo kernel é $N$ .^[2]
Existe un homomorfismo de grupo $\phi :G\to H$ cuxas fibras forman un grupo onde o elemento de identidade é $N$ e a multiplicación de dúas fibras calquera $\phi ^{-1}(h_{1})$ e $\phi ^{-1}(h_{2})$ producen a fibra $\phi ^{-1}(h_{1}h_{2})$ (este grupo é o mesmo grupo $G/N$ mencionado anteriormente).
Hai algunha relación de congruencia en $G$ para a cal a clase de equivalencia do elemento de identidade é $N$ .
Para todos os $n\in N$ e $g\in G$ . o conmutador $[n,g]=n^{-1}g^{-1}ng$ está en $N$ .^{[Cómpre referencia]}^{[Cita necesaria]}
Dous elementos calquera conmutan módulo a relación normal de pertenza ao subgrupo. É dicir, para todo $g,h\in G$ , $gh\in N$ se e só se $hg\in N$ .^{[Cómpre referencia]}^{[cita necesaria]}

Exemplos

Para calquera grupo $G$ , o subgrupo trivial $\{e\}$ composto só polo elemento de identidade de $G$ é sempre un subgrupo normal de $G$ . Así mesmo, $G$ en si é sempre un subgrupo normal de $G$ (se estes son os únicos subgrupos normais, entón $G$ dise que é simple).^[6] Outros subgrupos normais dun grupo arbitrario con nome característico inclúen o centro do grupo (o conxunto de elementos que conmutan con todos os demais elementos) e o subgrupo conmutador. $[G,G]$ . ^[7] ^[8] Máis xeralmente, dado que a conxugación é un isomorfismo, calquera subgrupo característico é un subgrupo normal.^[9]

Se $G$ é un grupo abeliano, daquela cada subgrupo $N$ de $G$ é normal, porque $gN=\{gn\}_{n\in N}=\{ng\}_{n\in N}=Ng$ . En xeral, para calquera grupo $G$ , cada subgrupo do centro $Z(G)$ de $G$ é normal en $G$ (no caso especial de $G$ ser abeliano, o centro é todo $G$ , daí o feito de que todos os subgrupos dun grupo abeliano son normais). Un grupo que non é abeliano mais para o que todos os subgrupos son normais chámase grupo hamiltoniano. ^[10]

Un exemplo concreto de subgrupo normal é o subgrupo $N=\{(1),(123),(132)\}$ do grupo simétrico $S_{3}$ , composto pola identidade e ambos os tres ciclos. En particular, pódese comprobar que cada clase de $N$ é igual ao propio $N$ ou é igual a $(12)N=\{(12),(23),(13)\}$ . Por outra banda, o subgrupo $H=\{(1),(12)\}$ non é normal en $S_{3}$ xa que $(123)H=\{(123),(13)\}\neq \{(123),(23)\}=H(123)$ .^[11] Isto ilustra o feito xeral de que calquera subgrupo $H\leq G$ de índice dous é normal.

Como exemplo dun subgrupo normal dentro dun grupo linear, considere o grupo linear xeral $\mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )$ de todas as matrices $n\times n$ invertíveis con entradas reais baixo a operación de multiplicación matricial e o seu subgrupo $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ de todas as matrices $n\times n$ de determinante 1 (o grupo linear especial). Para ver por que o subgrupo $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ é normal en $\mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )$ , considere calquera matriz $X$ en $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ e calquera matriz invertíbel $A$ . Agora empregando as dúas identidades importantes $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ e $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$ , un ten que $\det(AXA^{-1})=\det(A)\det(X)\det(A)^{-1}=\det(X)=1$ , e daquela $AXA^{-1}\in \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ tamén. Isto significa que $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ é pechado baixo a conxugación en $\mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )$ , polo que é un subgrupo normal. ^[a]

O grupo de translación é un subgrupo normal do grupo euclidiano en calquera dimensión.^[12] Isto significa: aplicando unha transformación ríxida, seguida dunha translación e despois a transformación ríxida inversa, ten o mesmo efecto que unha única translación. Pola contra, o subgrupo de todas as rotacións sobre a orixe non é un subgrupo normal do grupo euclidiano, sempre que a dimensión sexa polo menos 2: primeiro trasladar, despois xirar sobre a orixe e despois trasladar de volta normalmente non fixará a orixe, e polo tanto, non terá o mesmo efecto que unha única rotación sobre a orixe.

Propiedades

Se $H$ é un subgrupo normal de $G$ , e $K$ é un subgrupo de $G$ que contén $H$ , entón $H$ é un subgrupo normal de $K$ .^[13]
Un subgrupo normal dun subgrupo normal dun grupo non ten por que ser normal no grupo. É dicir, a normalidade non é unha relación transitiva. O grupo máis pequeno que presenta este fenómeno é o grupo diédrico de orde 8.^[14] Non obstante, un subgrupo característico dun subgrupo normal é normal.^[15] Un grupo no que a normalidade é transitiva chámase grupo T.^[16]
Os dous grupos $G$ e $H$ son subgrupos normais do seu produto directo $G\times H$ .
Se o grupo $G$ é un produto semidirecto $G=N\rtimes H$ , entón $N$ é normal en $G$ , aínda que $H$ non ten por que ser normal en $G$ .
Se $M$ e $N$ son subgrupos normais dun grupo aditivo $G$ tal que $G=M+N$ e $M\cap N=\{0\}$ , daquela $G=M\oplus N$ .^[17]
A normalidade consérvase baixo homomorfismos sobrexectivos;^[18] é dicir, se $G\to H$ é un homomorfismo sobrexectivo de grupo e $N$ é normal en $G$ , daquela a imaxe $f(N)$ é normal en $H$ .
A normalidade consérvase tomando imaxes inversas;^[18] é dicir, se $G\to H$ é un homomorfismo de grupo e $N$ é normal en $H$ , daquela a imaxe inversa $f^{-1}(N)$ é normal en $G$ .
Consérvase a normalidade ao tomar produtos directos;^[19] é dicir, se $N_{1}\triangleleft G_{1}$ e $N_{2}\triangleleft G_{2}$ , daquel $N_{1}\times N_{2}\;\triangleleft \;G_{1}\times G_{2}$ .
Cada subgrupo de índice 2 é normal. De forma máis xeral, un subgrupo, $H$ , de índice finito, $n$ , en $G$ contén un subgrupo, $K,$ normal en $G$ e de índice que divide $n!$ chamado corazón normal. En particular, se $p$ é o primo máis pequeno que divide a orde de $G$ , daquela todos os subgrupos do índice $p$ son normais.^[20]
O feito de que os subgrupos normais de $G$ sexan precisamente os kernels dos homomorfismos de grupo definidos en $G$ explica parte da importancia dos subgrupos normais; son unha forma de clasificar internamente todos os homomorfismos definidos nun grupo. Por exemplo, un grupo finito non identitario é simple se e só se é isomorfo a todas as súas imaxes homomorfas non identitarias,^[21] un grupo finito é perfecto se e só se non ten subgrupos normais de índice primo, e un grupo é imperfecto se e só se o subgrupo derivado non se complementa con ningún subgrupo normal propio.

Retícula de subgrupos normais

Dados dous subgrupos normais, $N$ e $M$ , de $G$ , a súa intersección $N\cap M$ e o seu produto $NM=\{nm:n\in N\;{\text{ e }}\;m\in M\}$ tamén son subgrupos normais de $G$ .

Os subgrupos normais de $G$ forman unha retícula baixo a inclusión de subconxuntos co mínimo elemento, $\{e\}$ , e o maior elemento, $G$ . O "meet" de dous subgrupos normais, $N$ e $M$ , nesta retícula é a súa intersección e o "join" é o seu produto.

Subgrupos normais, grupos cocientes e homomorfismos

Se $N$ é un subgrupo normal, podemos definir unha multiplicación en coclases secundarias do seguinte xeito: $\left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_{1}a_{2}\right)N$ Esta relación define un mapa $G/N\times G/N\to G/N$ . Para mostrar que esta mapeo está ben definido, hai que demostrar que a elección dos elementos representativos $a_{1},a_{2}$ non afecta o resultado. Para iso, considere algúns outros elementos representativos $a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N$ . Daquela existen $n_{1},n_{2}\in N$ tal que $a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}$ . Dedúcese que $a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N$ onde tamén utilizamos o feito de que $N$ é un subgrupo normal e, polo tanto, existe $n_{1}'\in N$ tal que $n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'$ . Isto demostra que este produto é un mapeo ben definido entre coclases.

Con esta operación, o conxunto de coclases secundarias é en si un grupo, chamado grupo cociente e denotado $G/N.$ Existe un homomorfismo natural, $f:G\to G/N$ , dado por $f(a)=aN$ . Este homomorfismo mapea $N$ no elemento identitario de $G/N$ , que é a coclase $eN=N$ , ^[22] é dicir, $\ker(f)=N$ .

En xeral, un homomorfismo de grupo, $f:G\to H$ envía subgrupos de $G$ a subgrupos de $H$ . Ademais, a preimaxe de calquera subgrupo de $H$ é un subgrupo de $G$ . Chamamos á preimaxe do grupo trivial $\{e\}$ en $H$ o kernel do homomorfismo e denotámolo como $\ker f$ . Como se ve, o núcleo sempre é normal e a imaxe de $G,f(G)$ , é sempre isomorfa a $G/\ker f$ (o primeiro teorema de isomorfismo).^[23] De feito, esta correspondencia é unha bixección entre o conxunto de todos os grupos cocientes de $G$ , $G/N$ , e o conxunto de todas as imaxes homomórfas de $G$ (ata isomorfismo).^[24] Tamén é doado ver que o kernel do mapa cociente, $f:G\to G/N$ , é o propio $N$ , polo que os subgrupos normais son precisamente os kernels dos homomorfismos con dominio $G$ .^[25]

Notas

↑ Bradley 2010, p. 12.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Cantrell 2000, p. 160.
↑ Dummit & Foote 2004.
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 Hungerford 2003, p. 41.
↑ Fraleigh 2003, p. 141.
↑ Robinson 1996, p. 16.
↑ Hungerford 2003, p. 45.
↑ Hall 1999, p. 138.
↑ Hall 1999, p. 32.
↑ Hall 1999, p. 190.
↑ Judson 2020.
↑ Thurston 1997, p. 218.
↑ Hungerford 2003, p. 42.
↑ Robinson 1996, p. 17.
↑ Robinson 1996, p. 28.
↑ Robinson 1996, p. 402.
↑ Hungerford 2013, p. 290.
↑ ^18,0 ^18,1 Hall 1999, p. 29.
↑ Hungerford 2003, p. 46.
↑ Robinson 1996, p. 36.
↑ Dõmõsi & Nehaniv 2004, p. 7.
↑ Hungerford 2003.
↑ Hungerford 2003, p. 44.
↑ Robinson 1996, p. 20.
↑ Hall 1999, p. 27.

↑ Noutras palabras: $\det$ é un homomorfismo de $\mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )$ cara ao subgrupo multiplicativo $\mathbf {R} ^{\times }$ , e $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ é o kernel. Ambos os argumentos tamén funcionan sobre os números complexos, ou de feito sobre un corpo arbitrario.

Véxase tamén

Bibliografía

Bergvall, Olof; Hynning, Elin; Hedberg, Mikael; Mickelin, Joel; Masawe, Patrick (16 May 2010). "On Rubik's Cube" (PDF). KTH.
Cantrell, C.D. (2000). Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5.
Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004). Algebraic Theory of Automata Networks. SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications. SIAM.
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
Fraleigh, John B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2.
Hall, Marshall (1999). The Theory of Groups. Providence: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8.
Hungerford, Thomas (2003). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer.
Hungerford, Thomas (2013). Abstract Algebra: An Introduction. Brooks/Cole Cengage Learning.
Judson, Thomas W. (2020). Abstract Algebra: Theory and Applications.
Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics 80 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001.
Thurston, William (1997). Levy, Silvio, ed. Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1. Princeton Mathematical Series. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08304-9.
Bradley, C. J. (2010). The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups. Oxford New York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300.

Outros artigos

Operacións levando subgrupos a subgrupos

Propiedades do subgrupo complementarias (ou opostas) á normalidade

Propiedades do subgrupo máis fortes que a normalidade

Propiedades do subgrupo máis febles que a normalidade

Nocións relacionadas en álxebra

Ligazóns externas

[FOOTNOTEBradley201012-1] Bradley 2010, p. 12.

[FOOTNOTECantrell2000160-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Cantrell 2000, p. 160.

[FOOTNOTEDummitFoote2004-3] Dummit & Foote 2004.

[FOOTNOTEHungerford200341-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 Hungerford 2003, p. 41.

[FOOTNOTEFraleigh2003141-5] Fraleigh 2003, p. 141.

[FOOTNOTERobinson199616-6] Robinson 1996, p. 16.

[FOOTNOTEHungerford200345-7] Hungerford 2003, p. 45.

[FOOTNOTEHall1999138-8] Hall 1999, p. 138.

[FOOTNOTEHall199932-9] Hall 1999, p. 32.

[FOOTNOTEHall1999190-10] Hall 1999, p. 190.

[FOOTNOTEJudson2020-11] Judson 2020.

[FOOTNOTEThurston1997218-13] Thurston 1997, p. 218.

[FOOTNOTEHungerford200342-14] Hungerford 2003, p. 42.

[FOOTNOTERobinson199617-15] Robinson 1996, p. 17.

[FOOTNOTERobinson199628-16] Robinson 1996, p. 28.

[FOOTNOTERobinson1996402-17] Robinson 1996, p. 402.

[FOOTNOTEHungerford2013290-18] Hungerford 2013, p. 290.

[FOOTNOTEHall199929-19] 18,0 ^18,1 Hall 1999, p. 29.

[FOOTNOTEHungerford200346-20] Hungerford 2003, p. 46.

[FOOTNOTERobinson199636-21] Robinson 1996, p. 36.

[FOOTNOTEDõmõsiNehaniv20047-22] Dõmõsi & Nehaniv 2004, p. 7.

[FOOTNOTEHungerford2003-23] Hungerford 2003.

[FOOTNOTEHungerford200344-24] Hungerford 2003, p. 44.

[FOOTNOTERobinson199620-25] Robinson 1996, p. 20.

[FOOTNOTEHall199927-26] Hall 1999, p. 27.

[12] Noutras palabras: $\det$ é un homomorfismo de $\mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )$ cara ao subgrupo multiplicativo $\mathbf {R} ^{\times }$ , e $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )$ é o kernel. Ambos os argumentos tamén funcionan sobre os números complexos, ou de feito sobre un corpo arbitrario.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[a]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]