Semigrupo

En álxebra abstracta, un semigrupo é unha estrutura alxébrica constituída por un conxunto provisto dunha lei de composición interna asociativa. Dise que é conmutativo se a súa lei é tamén conmutativa.

En relación cos axiomas de grupo fáltalle a existencia de elemento identidade e por tanto tamén o axioma de inverso.

Un monoide é unha estrutura alxébrica intermedia entre semigrupos e grupos, é un semigrupo que a maiores ten un elemento identidade, polo que obedece a todos menos un dos axiomas dun grupo: a existencia de inversos non se require nun monoide.

Definición

Un semigrupo é un magma asociativo. Noutras palabras, é unha par $(S,\star )$ composto por un conxunto $S$ e unha operación $\star$ que verifica a propiedade de asociatividade: $(a\star b)\star c=a\star (b\star c)$ para todos $a$ , $b$ e $c$ en $S$

Exemplos

O conxunto de números naturais distintos de cero provistos de suma é un semigrupo. Por non teren o cero non teñen elemento identidade e por non teren os negativos non teñen inversos.
Todo monoide é un semigrupo.
Se $(A,+,*)$ é un rng (ou pseudoanel), entón $(A,*)$ é un medio grupo.
Calquera conxunto ordenado no que calquera par de elementos teña unha límite inferior, provisto da lei que lles asocia este límite inferior, constitúe un semigrupo conmutativo.
Para calquera semigrupo $(S,*)$ , o conxunto de partes de $S$ é tamén un semigrupo para a operación definida por $A\cdot B=\{a*b\mid a\in A,b\in B\}.$

Conceptos esenciais

Elementos neutro e cero

Un elemento identidade pola esquerda dun semigrupo S (ou máis xeralmente dun magma), é un elemento e tal que para todos os x en S, e ⋅ x = x. Do mesmo xeito, un elemento identidade pola dereita é un elemento f tal que para todas os x en S, x ⋅ f = x. Un semigrupo pode ter un ou máis elementos identidade pola esquerda mais ningún pola dereita, e viceversa.

Cando $S$ ten un elemento neutro, dicimos que é un monoide.

Un semigrupo S pode mergullarse nun monoide que se forma agregando a S un elemento e ∉ S e definindo e ⋅ s = s ⋅ e = s para todos os s ∈ S ∪ {e}.^[1]^[2] A notación S¹ denota un monoide obtido de S xunto cunha identidade se é necesario (S¹ = S para un monoide).^[2]

Do mesmo xeito, cada magma ten como máximo un elemento absorbente, que na teoría de semigrupos chámase cero. De xeito análogo á construción anterior, para cada semigrupo S pódese definir S⁰, un semigrupo con 0 que incorpora a S.

Morfismo de semigrupos

Sexan $(S,\cdot )$ E $(T,\star )$ dous semigrupos. Unha aplicación $f:S\to T$ é un morfismo de semigrupos se $f(s\cdot t)=f(s)\star f(t)$ para tódolos $s,t\in S$ . Por exemplo, a aplicación $f:n\mapsto 2^{n}$ é un morfismo do semigrupo dos enteiros naturais provistos de suma ao semigrupo de potencias enteiras de 2 provistos de multiplicación.

Dous semigrupos S e T dise que son isomorfos se existe un homomorfismo de semigrupo bixectivo f : S → T. Os semigrupos isomorfos teñen a mesma estrutura.

Ideais

A operación do semigrupo induce unha operación na colección dos seus subconxuntos: dados os subconxuntos A e B dun semigrupo S, o seu produto A · B , escrito habitualmente como AB, é o conxunto { ab | a en A e b en B }. (Esta noción defínese de forma idéntica como se define para grupos.) En termos desta operación, un subconxunto de A chámase

un subsemigrupo se AA é un subconxunto de A,
un ideal pola dereita se AS é un subconxunto de A, e
un ideal pola esquerda se SA é un subconxunto de A.

Se A é á vez un ideal pola esquerda e un ideal pola dereita, daquela chámase ideal (ou ideal bilateral).

Se S é un semigrupo, entón a intersección de calquera colección de subsemigrupos de S tamén é un subsemigrupo de S. Polo tanto, os subsemigrupos de S forman unha reticula completa.

Un exemplo de semigrupo sen ideal mínimo é o conxunto de enteiros positivos baixo adición. O ideal mínimo dun semigrupo conmutativo, cando existe, é un grupo.

As relacións de Green, un conxunto de cinco relacións de equivalencia que caracterizan os elementos en función dos ideais principais que xeran, son ferramentas importantes para analizar os ideais dun semigrupo e as nocións relacionadas de estrutura.

O subconxunto coa propiedade que cada elemento conmuta con calquera outro elemento do semigrupo chámase centro do semigrupo.^[3] O centro dun semigrupo é un subsemigrupo.^[4]

Cociente

As seguintes nocións^[5] introduce a idea de que un semigrupo está contido noutro.

Un semigrupo T é un cociente dun semigrupo S se hai un morfismo de semigrupo surxectivo de S a T. Por exemplo, (Z/2Z, +) é un cociente de (Z/4 Z, +), utilizando o morfismo consistente en tomar o resto módulo 2 dun número enteiro.

Un semigrupo T divide un semigrupo S, denotado T ≼ S se T é un cociente dun subsemigrupo S' '. En particular, os subsemigrupos de S dividen a T, aínda que non é necesariamente o caso de que haxa un cociente de S.

Ambas as dúas relacións son transitivas.

Tipos de semigrupos

Un monoide é un semigrupo cun elemento identidade.
Un grupo é un monoide no que cada elemento ten un elemento inverso.
Un subsemigrupo é un subconxunto dun semigrupo que está pechado baixo a operación de semigrupo.
Un semigrupo cancelativo é aquel que ten a propiedade de cancelación:^[6] a · b = a · c implica b = c e de xeito similar para b · a = c · a. Todo grupo é un semigrupo cancelativo, e todo semigrupo cancelativo finito é un grupo.
Unha semigrupo idempotente é un semigrupo cuxa operación é idempotente.
Unha semireticula é un semigrupo cuxa operación é idempotente e conmutativa.
Os semigrupos 0-simple.
Os Semigrupos de transformación: calquera semigrupo finito S pode representarse mediante transformacións dun conxunto (estado) Q de como máximo |S | + 1 estados. Cada elemento x de S mapea Q a si mesmo x : Q → Q e a secuencia xy defínese por q(xy) = (qx)y para cada q en Q. A secuenciación é claramente unha operación asociativa, aquí equivalente a unha composición de funcións. Esta representación é básica para calquera autómata ou máquina de estados finitos (FSM).
O semigrupo bicíclico é de feito un monoide, que se pode describir como o semigrupo libre con dous xeradores p e q, baixo a relación pq = 1.
Os C₀-semigrupos.
Semigrupos regulares. Cada elemento x ten polo menos unha y inversa que satisfaga xyx = x e yxy = y; os elementos x e y ás veces chámanse "mutuamente inversos".
Os semigrupos inversos son semigrupos regulares onde cada elemento ten exactamente un inverso. Alternativamente, un semigrupo regular é inverso se e só calquera dous elementos idempotentes conmutan.
Semigrupo afín: un semigrupo isomorfo a un subsemigrupo finitamente xerado de Z^d. Estes semigrupos teñen aplicacións á álxebra conmutativa.

Notas

↑ Jacobson 2009, p. 30, ex. 5
↑ ^2,0 ^2,1 Lawson 1998, p. [Semigrupo en Google Books. 20]
↑ Kilp, Mati; Knauer, U.; Mikhalev, Aleksandr V. (2000). Monoids, Acts, and Categories: With Applications to Wreath Products and Graphs : a Handbook for Students and Researchers. Walter de Gruyter. p. 25. ISBN 978-3-11-015248-7. Zbl 0945.20036.
↑ Li͡apin, E. S. (1968). Semigroups. American Mathematical Soc. p. 96. ISBN 978-0-8218-8641-0.
↑ Pin, Jean-Éric (30 de novembro, 2016). Mathematical Foundations of Automata Theory (PDF). p. 19.
↑ Clifford & Preston 2010, p. 3

Véxase tamén

Bibliografía

Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851194-6. Zbl 0835.20077.
Clifford, Alfred Hoblitzelle; Preston, Gordon Bamford (1961). The Algebraic Theory of Semigroups 1. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0271-7. Zbl 0111.03403.
Clifford, Alfred Hoblitzelle; Preston, Gordon Bamford (2010) [1967]. The algebraic theory of semigroups 2. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0272-4.
Grillet, Pierre Antoine (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-9662-4. Zbl 0830.20079.
Grillet, Pierre Antoine (2001). Commutative Semigroups. Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-7067-3. Zbl 1040.20048.
Hollings, Christopher (2009). The Early Development of the Algebraic Theory of Semigroups. Archive for History of Exact Sciences 63. pp. 497–536. doi:10.1007/s00407-009-0044-3.
Hollings, Christopher (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1493-1. Zbl 1317.20001.
Petrich, Mario (1973). Introduction to Semigroups. Charles E. Merrill. ISBN 978-0-675-09062-9. Zbl 0321.20037.

Outros artigos

Elemento neutro.
Semigrupo compacto.
Rng. Anel sen elemento identidade multiplicativa.

Ligazóns externas

MathWorld semigroup.

[FOOTNOTEJacobson200930ex._5-1] Jacobson 2009, p. 30, ex. 5

[FOOTNOTELawson1998[''[httpbooksgooglecombooksid_F78nQEACAAJpgPA20_Semigrupo]''_en_[[Google_Books]]._20]-2] 2,0 ^2,1 Lawson 1998, p. [Semigrupo en Google Books. 20]

[KilpKilʹp2000-3] Kilp, Mati; Knauer, U.; Mikhalev, Aleksandr V. (2000). Monoids, Acts, and Categories: With Applications to Wreath Products and Graphs : a Handbook for Students and Researchers. Walter de Gruyter. p. 25. ISBN 978-3-11-015248-7. Zbl 0945.20036.

[Li͡apin1968-4] Li͡apin, E. S. (1968). Semigroups. American Mathematical Soc. p. 96. ISBN 978-0-8218-8641-0.

[5] Pin, Jean-Éric (30 de novembro, 2016). Mathematical Foundations of Automata Theory (PDF). p. 19.

[FOOTNOTECliffordPreston20103-6] Clifford & Preston 2010, p. 3

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]