Grupo cíclico

En álxebra abstracta, un grupo cíclico ou grupo monóxeno é un grupo, denotado C_n (tamén frecuentemente $\mathbb {Z}$_n, que non debe confundirse co anel conmutativo dos números p-ádicos), que é xerado por un só elemento. É dicir, é un conxunto de elementos invertibles cunha única operación binaria asociativa e contén un elemento g tal que calquera outro elemento do grupo pode obterse aplicando repetidamente a operación de grupo a g ou a súa inversa. Cada elemento pódese escribir como unha potencia enteira de g en notación multiplicativa, ou como un múltiplo enteiro de g en notación aditiva. Este elemento g chámase xerador do grupo.

Todo grupo cíclico infinito é isomorfo ao grupo aditivo de Z, os números enteiros. Todo grupo cíclico finito de orde n é isomorfo ao grupo aditivo de Z/nZ, os números enteiros módulo n. Todo grupo cíclico é un grupo abeliano (o que significa que a súa operación de grupo é conmutativa), e todo grupo abeliano finitamente xerado é un produto directo de grupos cíclicos.

Todo grupo cíclico de orde prima é un grupo simple, que non se pode dividir en grupos máis pequenos. Na clasificación de grupos finitos simples, unha das tres clases infinitas consiste en grupos cíclicos de orde prima. Os grupos cíclicos de orde prima están, polo tanto, entre os bloques de construción a partir dos que se poden construír todos os grupos.

Definición e notación

As seis raíces complexas da unidade forman un grupo cíclico baixo a multiplicación. Aquí, z é un xerador, máis z² non o é, porque as súas potencias non producen as potencias impares de z.

Para calquera elemento g en calquera grupo G, pódese formar o subgrupo que consta de todas as súas potencias enteiras: ⟨g⟩ = { g^k | k ∈ Z }, chamado subgrupo cíclico xerado por g. A orde de g é |⟨ g ⟩|, o número de elementos en ⟨g⟩, convencionalmente abreviado como |g|, como ord(g) ou como o(g). É dicir, a orde dun elemento é igual á orde do subgrupo cíclico que xera.

Un grupo cíclico é un grupo que é igual a un dos seus subgrupos cíclicos: G = ⟨g⟩ para algún elemento g, chamado xerador de G.

Para un grupo cíclico finito G de orde n temos G = { e, g, g², ..., gⁿ⁻¹ }, onde e é o elemento de identidade e gⁱ = g^j sempre que i ≡ j (mod n); en particular gⁿ = g⁰ = e, e g⁻¹ = gⁿ⁻¹. Un grupo abstracto definido por esta multiplicación adoita denotarse C_n, e dicimos que G é isomorfo ao grupo cíclico estándar C_n. Tal grupo tamén é isomorfo a Z/nZ, o grupo de números enteiros módulo n coa operación de adición, que é o grupo cíclico estándar en notación aditiva. Baixo o isomorfismo χ definido por χ(gⁱ) = i o elemento identidade e corresponde 0, os produtos corresponden a sumas e as potencias a múltiplos.

Por exemplo, o conxunto de raíces complexas sextas da unidade: $$G=\left\{\pm 1,\pm {\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)},\pm {\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)}\right\}$$ forma un grupo baixo multiplicación. É cíclico, xa que é xerado pola raíz da unidade $z={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i=e^{2\pi i/6}:$ é dicir, G = ⟨z⟩ = { 1, z, z ², z ³, z ⁴, z ⁵ } con z ⁶ = 1. Baixo unha mudanza de letras, isto é isomorfo (estruturalmente o mesmo que) ao grupo cíclico estándar de orde 6, definido como C₆ = ⟨ g ⟩ = { e, g, g², g³, g⁴, g⁵ } coa multiplicación g ^j · g ^k = g ^{(j+k) (mod 6)}, de xeito que g ⁶ = g ⁰ = e. Estes grupos tamén son isomorfos a Z/6 Z = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } coa operación de suma módulo 6, con z^k e g^k correspondentes a k. Por exemplo, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) corresponde a z¹ · z² = z³, e 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) corresponde a z² · z⁵ = z⁷ = z¹, etc. Calquera elemento xera o seu propio subgrupo cíclico, como ⟨z²⟩ = { e, z², z⁴ } de orde 3, isomórfico a C₃ e Z/3; e⟨z ⁵⟩ = { e, z⁵, z¹⁰ = z⁴, z¹⁵ = z³, z²⁰ = z², z²⁵ = z } = G, polo que z⁵ ten orde 6 e é un xerador alternativo de G.

Grupos cíclicos infinitos

p1, ( *∞∞ )	p11g, (22∞)
Dous grupos de frisos que son isomorfos a Z. Cun xerador, p1 ten translacións e p11g ten translacións e reflexos.

Por outra banda, nun grupo cíclico infinito G = ⟨g⟩, as potencias g^k dan elementos distintos para todos os números enteiros k, de xeito que G = { ..., g⁻², g⁻¹, e, g, g², ... } , e G é isomorfo ao grupo estándar C = C_∞ e a Z, o grupo aditivo dos enteiros. Un exemplo é o primeiro grupo de frisos. Aquí non hai ciclos finitos, e o nome "cíclico" pode ser enganoso.

Para evitar esta confusión, Bourbaki introduciu o termo grupo monóxeno para un grupo cun só xerador e restrinxiu "grupo cíclico" para significar un grupo monóxeno finito, evitando o termo "grupo cíclico infinito".

Exemplos

Exemplos de grupos cíclicos en simetría rotacional

C 1	C 2	C 3
C 4	C 5	C 6

Suma enteira e modular

O conxunto de enteiros Z, coa operación de suma, forma un grupo. É un grupo cíclico infinito, porque todos os números enteiros poden escribirse sumando ou restando repetidamente o número único 1. Neste grupo, 1 e −1 son os únicos xeradores. Todo grupo cíclico infinito é isomorfo a Z .

Para todo número enteiro positivo n, o conxunto de números enteiros módulo n, de novo coa operación de suma, forma un grupo cíclico finito, denotado Z/nZ. Un enteiro modular i é un xerador deste grupo se i é coprimo a n, porque estes elementos poden xerar todos os demais elementos do grupo mediante a suma de enteiros. (O número de eses xeradores é φ (n), onde φ é a función totiente de Euler). Todo grupo cíclico finito G é isomorfo a Z/nZ, onde n = |G| é a orde do grupo.

As operacións de adición sobre enteiros e enteiros modulares, utilizadas para definir os grupos cíclicos, son as operacións de adición de aneis conmutativos, tamén denotados Z e Z/nZ. Se p é un primo, entón Z/pZ é un corpo finito, e normalmente denotase F_p ou GF(p) para o corpo de Galois.

Multiplicación modular

Para cada número enteiro positivo n, o conxunto dos enteiros módulo n que son coprimos con n escríbese como (Z/nZ)^×; forma un grupo baixo a operación de multiplicación. Este grupo non sempre é cíclico, pero o é sempre que n é 1, 2, 4, unha potencia dun primo impar ou dúas veces a potencia dun primo impar (secuencia A033948 na OEIS). Este é o grupo multiplicativo de unidades do anel Z/nZ; hai φ(n) deles, onde φ é a función totiente de Euler. Por exemplo, (Z/6Z)^× = { 1, 5 }, e como 6 é o duplo dun primo impar, este é un grupo cíclico. Pola contra, (Z/8 Z)^× = { 1, 3, 5, 7 } é un grupo-4 de Klein e non é cíclico. Cando (Z/nZ)^× é cíclico, os seus xeradores chámanse raíces primitivas módulo n.

Para un número primo p, o grupo (Z/pZ)^× é sempre cíclico, composto polos elementos distintos de cero do corpo finito de orde p. De forma máis xeral, cada subgrupo finito do grupo multiplicativo de calquera corpo é cíclico.

Simetrías de rotación

O conxunto de simetrías de rotación dun polígono forma un grupo cíclico finito. Se hai n formas diferentes de mover o polígono sobre si mesmo mediante unha rotación (incluída a rotación nula), entón este grupo de simetría é isomorfo a Z/nZ.

O grupo de todas as rotacións dunha circunferencia (o grupo circular, tamén denotado S¹) non é cíclico, porque non hai unha única rotación cuxas potencias enteiras xeren todas as rotacións. De feito, o grupo cíclico infinito C_∞ é numerábel, mentres que S¹ non o é. O grupo de rotacións por ángulos racionais é numerábel, máis non é cíclico.

Teoría de Galois

Unha n-ésima raíz da unidade é un número complexo cuxa n-ésima potencia é 1, unha raíz do polinomio xⁿ − 1. O conxunto de todas as n-ésimas raíces da unidade forma un grupo cíclico de orde n baixo a multiplicación. Os xeradores deste grupo cíclico son as enésimas raíces primitivas da unidade; son as raíces do polinomio ciclotómico n-ésimo. Por exemplo, o polinomio z³ − 1 factoriza como (z − 1)(z − ω)(z − ω²), onde ω = e^2πi/3; o conxunto { 1, ω, ω² } = { ω⁰, ω¹, ω² } forma un grupo cíclico baixo a multiplicación. O grupo de Galois da extensión do corpo dos números racionais xerados polas n-ésimas raíces da unidade forma un outro grupo diferente, isomorfo ao grupo multiplicativo (Z/nZ)^× de orde φ(n), que é cíclico para algúns pero non para todos os n (ver arriba).

Unha extensión dun corpo chámase extensión cíclica se o seu grupo de Galois é cíclico. Para os corpos de característica cero, esas extensións son o tema da teoría de Kummer, e están intimamente relacionadas coa solubilidade por radicais.

Subgrupos

Todos os subgrupos e grupos cocientes de grupos cíclicos son cíclicos. En concreto, todos os subgrupos de Z teñen a forma ⟨m⟩ = mZ, sendo m un enteiro positivo. Todos estes subgrupos son distintos entre si, e á parte do grupo trivial {0} = 0Z, todos son isomorfos a Z.

Todos os grupos cocientes Z/nZ son finitos, coa excepción Z/0Z = Z/{0}. Para cada divisor positivo d de n, o grupo cociente Z/nZ ten precisamente un subgrupo de orde d, xerado pola clase de residuos de n/d. Non hai outros subgrupos.

Propiedades adicionais

Todo grupo cíclico é abeliano. É dicir, a súa operación de grupo é conmutativa: gh = hg (para todo g e h en G). Isto é claro para os grupos de suma enteira e modular xa que r + s ≡ s + r (mod n), e isto dedúcese para todos os grupos cíclicos xa que todos son isomorfos a estes grupos estándar. Para un grupo cíclico finito de orde n, gⁿ é o elemento de identidade para calquera elemento g. Isto de novo dedúcese usando o isomorfismo á adición modular, xa que kn ≡ 0 (mod n) para cada número enteiro k. (Isto tamén é certo para un grupo xeral de orde n, debido ao teorema de Lagrange).

Para unha potencia dun primo $p^{k}$, o grupo $Z/p^{k}Z$ chámase grupo cíclico primario. O teorema fundamental dos grupos abelianos afirma que todo grupo abeliano finitamente xerado é un produto directo finito de grupos cíclicos primarios e infinitos cíclicos.

Como un grupo cíclico é abeliano, cada unha das súas clases de conxugación consta dun único elemento. Un grupo cíclico de orde n ten polo tanto n clases de conxugación.

Se d é un divisor de n, entón o número de elementos en Z/nZ que teñen orde d é φ(d), e o número de elementos cuxa orde divide d é exactamente d. Se G é un grupo finito no que, para cada n > 0, G contén como máximo n elementos de orde que dividen a n, entón G debe ser cíclico. A orde dun elemento m en Z/nZ é n/mcd(n,m).

Se n e m son coprimos, entón o produto directo de dous grupos cíclicos Z/nZ e Z/mZ é isomórfico ao grupo cíclico Z/nmZ, e tamén se verifica a inversa: esta é unha forma do teorema do resto chinés. Por exemplo, Z/12Z é isomorfo ao produto directo Z/3Z × Z/4Z baixo o isomorfismo (k mod 12) → (k mod 3, k mod 4); mais non é isomorfo a Z/6Z × Z/2Z, no que cada elemento ten orde como máximo 6.

Se p é un número primo, entón calquera grupo con p elementos é isomorfo ao grupo simple Z/pZ . Un número n chámase número cíclico se Z/nZ é o único grupo de orde n, que é verdade exactamente cando gcd(n, φ(n)) = 1. A secuencia de números cíclicos inclúe todos os primos, pero algúns son compostos como 15. Non obstante, todos os números cíclicos son impares agás o 2. Os números cíclicos son:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 13, 13, 13, 13, 13, 13 141, 143,... (secuencia A003277 na OEIS).

A definición implica inmediatamente que os grupos cíclicos teñen presentación de grupo C_∞ = ⟨x | ⟩ e C_n = ⟨x | xⁿ⟩ para n finito.

Véxase tamén

Bibliografía

• Alonso, J. M.; et al. (1991). "Notes on word hyperbolic groups". Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, 1990) (PDF). River Edge, NJ: World Scientific. Corollary 3.6. MR 1170363. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2013-04-25. Consultado o 2013-11-26. 
• Alspach, Brian (1997). "Isomorphism and Cayley graphs on abelian groups". Graph symmetry (Montreal, PQ, 1996). NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. 497. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. pp. 1–22. ISBN 978-0-792-34668-5. MR 1468786. 
• Aluffi, Paolo (2009). "6.4 Example: Subgroups of Cyclic Groups". Algebra, Chapter 0. Graduate Studies in Mathematics 104. American Mathematical Society. pp. 82–84. ISBN 978-0-8218-4781-7. 
• Bourbaki, Nicolas (1998-08-03) [1970]. Algebra I: Chapters 1-3. Elements of Mathematics 1 (softcover reprint ed.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. 
• Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. p. 1. ISBN 0-387-09212-9. 
• Lajoie, Caroline; Mura, Roberta (November 2000). What's in a name? A learning difficulty in connection with cyclic groups. For the Learning of Mathematics 20. pp. 29–33. JSTOR 40248334. 
• Cox, David A. (2012). Galois Theory. Pure and Applied Mathematics (2nd ed.). John Wiley & Sons. Theorem 11.1.7, p. 294. ISBN 978-1-118-07205-9. doi:10.1002/9781118218457. 
• Gallian, Joseph (2010). Contemporary Abstract Algebra (7th ed.). Cengage Learning. Exercise 43, p. 84. ISBN 978-0-547-16509-7. 
• Gannon, Terry (2006). Moonshine beyond the monster: the bridge connecting algebra, modular forms and physics. Cambridge monographs on mathematical physics. Cambridge University Press. p. 18. ISBN 978-0-521-83531-2. Z_n is simple iff n is prime. 
• Jungnickel, Dieter (1992). On the uniqueness of the cyclic group of order n. American Mathematical Monthly 99. pp. 545–547. JSTOR 2324062. MR 1166004. doi:10.2307/2324062. 
• Fuchs, László (2011). Partially Ordered Algebraic Systems. International series of monographs in pure and applied mathematics 28. Courier Dover Publications. p. 63. ISBN 978-0-486-48387-0. 
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004). The Theory of Finite Groups: An Introduction. Universitext. Springer. p. 50. ISBN 978-0-387-40510-0. 
• Motwani, Rajeev; Raghavan, Prabhakar (1995). Randomized Algorithms. Cambridge University Press. Theorem 14.14, p. 401. ISBN 978-0-521-47465-8. 
• Ore, Øystein (1938). Structures and group theory. II. Duke Mathematical Journal 4. pp. 247–269. MR 1546048. doi:10.1215/S0012-7094-38-00419-3. hdl:10338.dmlcz/100155. 
• Rotman, Joseph J. (1998). Galois Theory. Universitext. Springer. Theorem 62, p. 65. ISBN 978-0-387-98541-1. 
• Stallings, John (1970). "Groups of cohomological dimension one". Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, New York, 1968). Providence, R.I.: Amer. Math. Soc. pp. 124–128. MR 0255689. 
• Stewart, Ian; Golubitsky, Martin (2010). Fearful Symmetry: Is God a Geometer?. Courier Dover Publications. pp. 47–48. ISBN 978-0-486-47758-9. 
• Vilfred, V. (2004). "On circulant graphs". En Balakrishnan, R.; Sethuraman, G.; Wilson, Robin J. Graph Theory and its Applications (Anna University, Chennai, March 14–16, 2001). Alpha Science. pp. 34–36. ISBN 8173195692. 
• Vinogradov, I. M. (2003). "§ VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES". Elements of Number Theory. Mineola, NY: Dover Publications. pp. 105–132. ISBN 0-486-49530-2. 

Outros artigos

• Grupo simétrico.
• Grupo de permutacións.

Ligazóns externas

• Milne, Group theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html
• An introduction to cyclic groups
• Weisstein, Eric W. "Cyclic Group". MathWorld. 
• Cyclic groups of small order on GroupNames
• Every cyclic group is abelian Arquivado 17 de abril de 2023 en Wayback Machine.