Teorema de Lagrange (teoría de grupos)

G é o grupo $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$, os enteiros mod 8 baixo adición. O subgrupo H contén só 0 e 4, e é isomorfo a $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ . Hai catro coclases de H pola esquerda: H en si, 1+H, 2+H e 3+H (escrita usando notación aditiva xa que este é un grupo aditivo). Xuntos dividen todo o grupo G en conxuntos de igual tamaño e non superpostos. Así, o índice [G : H] é 4.

Joseph-Louis Lagrange (gravado, Robert Hart, 1830, a partir dun busto)

No campo matemático da teoría de grupos, o teorema de Lagrange afirma que se H é un subgrupo de calquera grupo finito G, entón $|H|$ é un divisor de $|G|$, é dicir, a orde (número de elementos) de cada subgrupo H divide a orde do grupo G.

O teorema recibe o nome de Joseph-Louis Lagrange. A seguinte variante indica que para un subgrupo $H$ dun grupo finito $G$, non só é $|G|/|H|$ un enteiro, tamén o seu valor é o índice $[G:H]$, definido como o número de coclases esquerdas de $H$ en $G$ .

Teorema de Lagrange Se H é un subgrupo dun grupo G, entón $\left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.$

Esta variante cúmprese aínda que $G$ sexa infinito, sempre que se interpreten $|G|$, $|H|$, e $[G:H]$ como números cardinais.

Proba

As coclases esquerdas de H en G son as clases de equivalencia dunha determinada relación de equivalencia en G: concretamente, chamemos a x e y en G como equivalentes se existe h en H tal que x = yh. Polo tanto, o conxunto de coclases esquerdas forma unha partición de G. Cada clase esquerda aH ten a mesma cardinalidade que H porque $x\mapsto ax$ define unha bixección $H\to aH$ (o inverso é $y\mapsto a^{-1}y$ ). O número de coclases esquerdas é o índice [G : H]. Polas tres relacións anteriores temos,

$\left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.$

Aplicacións

Unha consecuencia do teorema é que a orde de calquera elemento a dun grupo finito (é dicir, o menor número enteiro positivo k con a^k = e, onde e é o elemento identidade do grupo) divide a orde dese grupo, xa que a orde de a é igual á orde do subgrupo cíclico xerado por a Se o grupo ten n elementos, dedúcese que

$\displaystyle a^{n}=e{\mbox{.}}$

O teorema tamén mostra que calquera grupo de orde primo é cíclico e simple, xa que o subgrupo xerado por calquera elemento non identidade debe ser o propio grupo enteiro.

Existencia de subgrupos de orde dada

O teorema de Lagrange suscita a pregunta inversa de se cada divisor da orde dun grupo é a orde dalgún subgrupo. Isto en xeral non se cumpre: dado un grupo finito G e un divisor d de | G |, non necesariamente existe un subgrupo de G con orde d. O exemplo máis pequeno é A₄ (o grupo alternante de grao 4), que ten 12 elementos mais ningún subgrupo de orde 6.

Hai recíprocos parciais do teorema de Lagrange. Para os grupos xerais, o teorema de Cauchy garante a existencia dun elemento, e polo tanto dun subgrupo cíclico, de orde calquera primo que divide a orde do grupo. O teorema de Sylow estende isto á existencia dun subgrupo de orde igual á potencia máxima de calquera primo que divide a orde do grupo. Para os grupos resolúbeis, os teoremas de Hall afirman a existencia dun subgrupo de orde igual a calquera divisor unitario da orde do grupo (é dicir, un divisor coprimo do seu cofactor).

Véxase tamén

Bibliografía

• Bray, Henry G. (1968). A note on CLT groups. Pacific J. Math. 27. pp. 229–231. doi:10.2140/pjm.1968.27.229. 
• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra (6th ed.). Boston: Houghton Mifflin. ISBN 978-0-618-51471-7. 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra (3rd ed.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. 
• Roth, Richard R. (2001). A History of Lagrange's Theorem on Groups. Mathematics Magazine 74. pp. 99–108. JSTOR 2690624. doi:10.2307/2690624. 

Outros artigos

• Grupo (matemáticas).
• Coclase.